ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA

ECUACIÓN ORDINARIA
TEOREMA 1. La Circunferencia cuyo centro es el punto (h,k) y cuyo radio es la constante r, tiene por ecuación:
(x – y) 2 + (y – k)2 =r2
DEMOSTRACIÓN:
Sea P(x,y) un punto cualquiera de la circunferencia de centro C (h,k) y radio r . Entonces, por definición de circunferencia, el punto P debe satisfacer la condición geométrica                                /CP/ = r                    
 La cual está expresada analíticamente por la ecuación de la distancia entre dos puntos dados; el centro y el punto (x,y)
Raíz de (x-h)2 + (y-k)2 = r , De donde,
(x – h)2 + (y – k)2 = r 2 (2)
 Recíprocamente, si se le dan otros valores a las coordenadas en x y y que satisfagan la ecuación 2 y se verifique la igualdad
(x1 – h)2 +(y1 – k)2 = r 2
 Aquí se despeja la raíz cuadrada,
Raíz de (x1-h)2 + (y1-k)2 = r
 
Que es la expresión analítica de la condición geométrica (1) aplicada al punto P1 (x1,y1). Portanto, demostrados los teoremas directo y recíproco, resulta que 2 es la ecuación buscada.
Para el caso particular de que el centro esté en el origen (0,0) la ecuación queda de lasiguiente manera:
 (x – h)2 + (y – k)2 = r 2
 
(x – 0)2 + (y – 0)2 = r 2
x2 + y2 = r 2
 
ECUACIÓN GENERAL
Si desarrollamos la ecuación ordinaria
                       (x – h)2 + (y –k)2 = r 2                  
 obtenemos
x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0
 
lo cual puede escribirse en la forma
                  x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0             
endonde
D = -2h , E = -2k y F = h2 + k2 – r2
 
Se deduce por lo tanto, que la ecuación de una circunferencia puede escribirse en la forma general de la ecuación. El problema que presentaahora es averiguar si, recíprocamente, toda ecuación de la forma general (2) representa una circunferencia.
a2 + b2 ─ F > 0  (a2 + b2 ─ F debe ser mayor que cero)...