ecuaciones de la recta


4.4 FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA LINEA RECTA



4.4.1.Ecuación De La Recta Que Pasa Por El Origen

Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x (fig. 4.6.)




Fig. 4.6
Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.
Comolos triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que: 

Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, ó y = mx (1)
 
La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m. 
..
4.4.2. Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente m Y Su Intercepto b Con El Eje y

Considere una recta l de la que se conocen m (m = tan ) y b(ver fig. 4.7.) 




fig. 4.7.
Trácese por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al  llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadas 
P’’(x, Y), Y  y.
Como P’’ (x, Y) está sobre l’, entonces , de donde Y = mx
Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un paralelogramo.
Luego, P’’P = OB = b. Y se tiene que:
Y = P’P =P’P’’ + P’’P = Y + b = mx + b.
Es decir, para todo (x, y) l, y = mx + b = (tan )x + b
La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.





..
4.4.3. Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un Punto Y De Pendiente Conocida

Considere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m también es conocida. 
.Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l, viene dada por:
                y = mx + b             (1)
Como P1(x1, y1) l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:
                 y1 = mx1 + b          (2)
fig. 4.8
Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene:
y – y1 = m(x – x1)(3)
La ecuación (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuación de la recta.
Nótese que la ecuación (3) también puede escribirse en la forma: 
y = mx + (y1 – mx1).
Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por:
b = y1 – mx1
..





4.4.4. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2)

Sea l la recta que pasa por lospuntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámese m1 su pendiente. 
....




Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, se tiene de acuerdo a 4.4.3, que 
                           y – y1 = m1 (x – x1)    (1)
representa la ecuación de dicha recta.
Ahora, como el punto P2(x2, y2) l, entonces satisface su ecuación.
    fig. 4.9.
Esto es y2 – y1 =; de donde  (2)
Sustituyendo (2)en (1) se obtiene
(3) 
La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuación de la recta.
Observaciones
 
     i.    Nótese que la ecuación (2) nos proporciona el valor de la pendiente m y la ecuación 
          (3) también puede escribirse en la forma: 


            Lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por:

   ii.   Si (x, y) esun punto cualquiera de la recta determinada por P1(x1y1) entonces la 
      ecuación de la resta (3) también puede escribirse en forma de determinante, así:
= 0
....
4.4.5. Ecuación segmentaria de la linea recta

Considere la recta l de la cual conocemos los interceptos a y b con los ejes x e y respectivamente (fig. 4.10) 





Como l pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b), entoncesde acuerdo a la sección la ecuación de l viene dada por: 

Es decir,  de donde, 

                       fig. 4.10
Dividiendo esta última ecuación por b, se obtiene:
(1)
La ecuación (1) se conoce como la ecuación SEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA DE LOS INTERCEPTOS de la linea recta. Los números a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo...