ECUACIONES DE PRIMER GRADO Ex

ECUACIONES DE PRIMER GRADO
(con una incógnita)
Descripción y ejemplos
Solución numérica y gráfica
Interpretación geométrica (función afín)
Ecuaciones que no tiene solución
Ecuaciones con infinitas soluciones (identidades)
Problemas de aplicación
Ejercicios finales
 

DESCRIPCIÓN Y EJEMPLOS
Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas) relacionados medianteoperaciones matemáticas.
Por ejemplo: 3x - 2y = x2 + 1
 
Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sóla letra (incógnita normalmente la x).
Por ejemplo: x2 + 1 = x + 4
 
Se dicen que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (por tanto a 1).
Ejemplos :
1 - 3x = 2x - 9.
3(x-1) = 4 - 2(x+1)
x - 3 = 2 + x.
x/2 = 1 - x + 3x/2
Son estas últimas las ecuaciones quevamos a resolver en esta lección.

 
SOLUCIÓN NUMÉRICA Y GRÁFICA
Ejercicio 1.- Supongamos que queremos resolver la ecuación : 3(x-1) = 4 - 2(x+1).
Como ya sabrás, resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta.
En el ejemplo podemos probar con un valor:
x = 2, llegaríamos a 3 = -2,luego no es cierto,
x = 1 llegaríamos a 0 = 0, que sí es cierto, luego hemos encontrado una solución de la ecuación. Veremos más adelante que en algún caso puede haber más soluciones.
Numéricamente, como seguramente sabrás, se resuelve "despejando" la x, o sea realizar las operaciones indicadas e ir pasando términos de un miembro a otro hasta conseguir: x = ..número..Así en el ejemplo se procede:3x - 3 = 4 - 2x - 2 (atención al signo cuando haya paréntesis)
3x + 2x =3 + 4 - 2 ; 5x = 5; x = 5/5 ; x = 1 que es la solución que ya habíamos encontrado antes..
Decimos en este caso que la ecuación tiene solución. Pero:
¿qué significa gráficamente esta solución?
Observa la siguiente escena. La línea recta dibujada en rojo representa gráficamente a la ecuación. Cambia los valores de x en laventana inferior, señalando sobre las flechitas con el ratón o "arrastrando" el punto grueso rojo con el ratón.
El valor de x donde la recta corta al eje X será la solución de la ecuación (observa que es x = 1)
 

Observa en esta escena que la ecuación está escrita en la parte inferior de la imagen, en rojo. Fíjate en la forma de escribir las operaciones, especialmente el signo * (que significa "por")delante de los paréntesis.
Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales para conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro. Veámoslas para el ejercicio siguiente:
3x + 1 = x - 2.
- Sumar o restar a los dos miembros un mismo número. En este caso restar 1 a los dos miembros y restar x a los dos miembros:
3x +1 -1 - x = x - x - 2 -1 , que una vez operado queda: 2x= -3. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro sumando lo que resta o restando lo que suma"
- Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número. En este caso por 2:
2x/2 = -3/2, que una vez simplificado queda x = -3/2 que es la solución. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro lo que está multiplicando dividiendo o lo que estádividiendo multiplicando".
En ecuaciones más complicadas puede ocurrir también:
- Que haya operaciones indicadas con paréntesis. Se realizan lo primero (como hicimos en el ejercicio 1)
- Que en la ecuación hay denominadores. En este caso lo primero será hacer denominador común para ambos miembros, con lo que se podrán suprimir los denominadores y continuar con los pasos anteriores (ver el ejercicio 3).Ejemplo: Para resolver la ecuación:

y suprimiendo los denominadores ya estamos como en el caso anterior: 2(x - 2) - 3(x + 3) = 5(1 - 2x)
 
Ejercicio 2.- Resuelve numéricamente en tu cuaderno de trabajo la ecuación: 2(x-5) = -2(x-3).
Escribe en la siguiente escena, en la línea donde ahora ves escrita la ecuación anterior, la ecuación de este ejercicio.
Comprueba el punto donde la recta corta al...