ecuaciones de segundo grado

Ecuación de segundo grado
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Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y = 0), las raíces, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática.
Una ecuación de segundo grado1 2 o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, esdecir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:

donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede representar medianteuna gráfica de una función cuadrática o parábola. Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontal coincide con las soluciones de la ecuación (y dado que pueden existir dos, una o ninguna intersección, esos pueden ser el número de soluciones reales de la ecuación).
órmula cuadrática[editar]
Para una ecuación cuadrática concoeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas). Se denomina fórmula cuadrática3 a la ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:

donde el símbolo ± indica que los valores

y

constituyen las dossoluciones.
Discriminante[editar]


Ejemplo del signo del discriminante:
■ : sin soluciones reales
■ : una solución real (multiplicidad2)
■ : dos soluciones reales distintas.
En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D o bien con el símbolo Δ (delta):

Una ecuacióncuadrática con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solución real de multiplicidad 2, o bien dos raíces complejas. El discriminante determina la índole y la cantidad de raíces.
Si  hay dos soluciones reales y diferentes (la parábola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):
.
Si  hay una solución real doble (la parábola sólo toca en un punto al eje de lasabscisas: X):

Si  hay dos soluciones complejas conjugadas (la parábola no corta al eje de las abscisas: X):

donde i es la unidad imaginaria.
En conclusión, las raíces son distintas si el discriminante es no nulo, y son números reales si –sólo si– el discriminante es no negativo.
Ecuación bicuadrática[editar]
Éstas son un caso particular de la ecuación de cuarto grado. Les faltan los términos ala tercera y a la primera potencia. Su forma polinómica es:

Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio de variable 
Con lo que nos queda:  El resultado resulta ser una ecuación de segundo grado que podemos resolver usando la fórmula:

Al deshacer el cambio de variable aparecen las cuatro soluciones:




Clasificación[editar]
La ecuación de segundo grado seclasifica de la forma siguiente:[cita requerida]
1. Completa. Es la forma canónica:

donde las tres literales: a, b y c, son distintas de cero.
Esta ecuación admite tres maneras para las soluciones: 1) dos números reales y diferentes; 2) dos números reales e iguales (un número real doble); 3) dos números complejos conjugados, según el valor del discriminante

ya sea positivo, cero o negativo,respectivamente.
Se resuelven por factorización, o por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. Esta fórmula se deduce más adelante.
2. Incompleta pura. Puede expresarse de las dos maneras siguientes:

donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x mediante operaciones inversas. Su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los...