Ecuaciones De Segundo Grado
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación
que se puede poner bajo la forma canónica:
Si a, b y c son números reales, el raciocinio anterior es por supuesto
válido, pero es práctico distinguir dos casos, según el signo del
discriminante
:
Si
, entonces para d se puede tomar su raíz cuadrada, y las
soluciones son:
Si
, entonces ni Δ ni laecuación tienen raíces reales. Es
preciso emplear números complejos: para d se puede tomar la raíz
cuadrada de -Δ, multiplicado por i (que verifica
), pues:
y las soluciones son:
Una ecuación de segundo grado, se resuelve aplicando factorización,
cuando la ecuación sea rápidamente factorizable o mediante la fórmula
general.
Por ejemplo resolver la ecuación por factorización:
x2 5x 6 0Factorizando :
( x 3)( x 2) 0
x3 0
x2 0
x1 3 x2 2
Ingeniero Julio Núñez Cheng
1
Resolver la ecuación aplicando la Fórmula general:
x 2 2 x 15 0
x
x
b
2
b 2 4 ac
2a
2 2 4(1)( 15)
2(1)
4 60
2
2 64
28
x
2
2
x1 5 x 2 3
x
2
Tener presente que el coeficiente de b cambia de signo al aplicar la
fórmula general.
Métodos de Resolución
1)Factorización.- Según la regla del aspa simple, se iguala cada factor a cero.
2) Fórmula.- Se sustituye el valor numérico de los coeficientes en la fórmula:
Ecuación Completa
Ecuación Incompleta
Ecuación Incompleta
2
2
ax + b x + c = 0
ax + b x = 0
ax2 + c = 0
Problemas
1. La suma de los cuadrados de tres números enteros consecutivos es
166. Hallar dichos números.
Sea :
x : Pr imer Número
( x 1) :Segundo entero con sec utivo.
( x 2) : Tercer entero con sec utivo.
Luego : x2 ( x 1)2 ( x 2)2 194
Efectuando operaciones y simplificando :
3x 2 6x 189 0
Re solviendo la ecuación :
x 7 x 1 8 x 2 9
Ingeniero Julio Núñez Cheng
2
2. Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la
edad que tenía hace 13 años. Calcular la edad de Pedro.
Edad actual xEdad hace 13 años x 13
Edad dentro de 11 años x 11
Según el enunciado :
( x 13) 2
x 11
2
De donde :
x 21
3. Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de
cerca. Calcular las dimensiones de la finca.
5
55 - x
5
55-
55
x
Semiperímetro 55 (mitad del perímetro)
Base x
Altura 55 x
Según el enunciado :
El área es 750 (base por altura)
x(55 x) 750
55 x x 2 750
De donde :
x 2 55 x 750 0
x1 25 x2 30
Ingeniero Julio Núñez Cheng
3
4. Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los
números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del
triángulo es 24 m².
3x
5x
4x
Á r e a d e l tr iá n g u lo :
b a s e x a ltu r a
2
(3 x ) ( 4 x )
24
2
12 x2
24
2
6 x 2 24
x 2
A
1º C a te to 3 x 6
2 º C a te to 4 x 8
3 º H ip o te n u s a 5 x 1 0
5. Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado
por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se
sabe que su área es 540 m².
x
34
50
Ingeniero Julio Núñez Cheng
4
Ancho que rodea al jardín : x
Área del jardín :
50 x34
Área total :
área del jardín área del ca min o
Luego:
Área del ca min o área total área del jardín
Área del ca min o 540
Área total (50 2 x)(34 2 x)
Área del jardín (50)(34)
540 (50 2 x )(34 2 x ) (50)(34)
Efectuando operaciones y simplificando :
4 x 2 168 x 540 0
Dividiendo entre 4 a la ecuación
x 2 42 x 135 0
Factorizando :
( x 45)( x 3) 0
Igualando a cerocada tér min o :
x 45 0
x1 45
x3 0
x2 3El ancho del ca min o es 3 metros
Ingeniero Julio Núñez Cheng
5
AUTOEVALUACIÓN
Resolver las ecuaciones y los problemas:
1. (x + 6) (x - 6) = 13
2. (x + 11) (x - 11) = 23
3. (x - 3)2 - (2x + 5)2 = - 16
4. (4x - 1) (2x + 3) = (x + 3)(x - 1)
1
1
1
1
x 6 x 1 2x x
x
x2 5
6.
x2
x
2
5.
7.
x6
x2 4
8) Se quiere hacer una caja de 50 cm3 de volumen con una cartulina
cuadrada....
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