Ecuaciones De Tercer Grado

Una ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:
[pic],
donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente aR o a C.
Sea K un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces, propiedad que hará posible resolver la ecuación.
En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 3tiene tres raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.
Los pasos de la resolución son:
• Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0). Seobtiene:
[pic]con [pic], [pic], [pic].
• Proceder al cambio de incógnita [pic], para suprimir el término cuadrado. En efecto, al desarrollar [pic]con la identidad precedente, vemosaparecer el término [pic], compensado exactamente por [pic]que aparece en [pic]. Se obtiene:
[pic], con p y q números del cuerpo.
• Y ahora, la astucia genial: escribir [pic]. Así, la ecuaciónprecedente da [pic].
Desarrollando: [pic].
Reagrupando: [pic].
Factorizando: [pic].
Como se ha introducido una variable adicional (u y v en vez de z), es posible imponerseuna condición adicional. Concretamente:
[pic], que implica [pic].
• Pongamos [pic]y [pic]. Entonces tenemos [pic]y [pic]porque [pic]. Por lo tanto U y V son las raíces de la ecuaciónauxiliar [pic], que se sabe resolver.
Luego [pic]y [pic]son raíces cúbicas de [pic]y [pic](que verifican [pic]y finalmente [pic].
En el cuerpo [pic], si [pic]y [pic]son estas raíces cúbicas, entonces lasotras son [pic]y [pic], y por supuesto [pic]y [pic], con [pic], una raíz cúbica de la unidad.
Como el producto uv está fijado [pic], las parejas [pic]posibles son [pic], [pic]y [pic].
Las otrasraíces de la ecuación de tercer grado son por lo tanto [pic]y [pic].

El caso real [editar]

Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho:...