Ecuaciones de tercer grado

Ecuaciones de Tercer Grado
Una ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:
,
donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a uncuerpo, usualmente a R o a C.
El caso general
Sea K un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces, propiedad que hará posible resolver la ecuación.
En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe quetodo polinomio de grado 3 tiene tres raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.
Los pasos de la resolución son:
* Dividir la ecuación inicial por elcoeficiente a (a ≠ 0). Se obtiene:
con , , .
* Proceder al cambio de incógnita , para suprimir el término cuadrado. En efecto, al desarrollar con la identidad precedente, vemos aparecer eltérmino , compensado exactamente por que aparece en . Se obtiene:
, con p y q números del cuerpo.
* Y ahora, la astucia genial: escribir . Así, la ecuación precedente da .
Desarrollando: .Reagrupando: .
Factorizando: .
Como se ha introducido una variable adicional (u y v en vez de z), es posible imponerse una condición adicional. Concretamente:
, que implica .
* Pongamos y . Entoncestenemos y porque . Por lo tanto U y V son las raíces de la ecuación auxiliar , que se sabe resolver.
Luego y son raíces cúbicas de y (que verifican y finalmente .
En el cuerpo , si y son estas raícescúbicas, entonces las otras son y , y por supuesto y , con , una raíz cúbica de la unidad.
Como el producto uv está fijado , las parejas posibles son , y .
Las otras raíces de la ecuación de tercer gradoson por lo tanto y .
El caso real
Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamentecerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran en C, extensión algebraica cerrada de R. La distinción aparece cuando se sacan las raíces cuadradas en el...