Ecuaciones De Una Variable

Taller 3
Soluciones de ecuaciones de una variable

Profesor:

Fecha:
18 de junio
Integrantes:

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Fecha:
18 de junio
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Índice

Resumen Ejecutivo 2
Introducción 2
Desarrollo 3
Conclusiones 7

Resumen Ejecutivo
Se comenzó analizando los métodos de Newton y bisección para poder realizar el trabajo , Luego se investigó la forma de ocuparQoctave en los problemas planteados usando los métodos ya antes dichos remplazando las variables con los números pedidos.
Introducción

Fue necesario realizar una investigación sobre el método de Newton y el método de la Bisección.
Estos métodos son utilizados para encontrar soluciones en ecuaciones de una variable.
El método de Newton-Raphson es un método iterativo que nos permite aproximar lasolución de una ecuación del tipo f(x) = 0. Partimos de una estimación inicial de la solución x0 y construimos una sucesión de aproximaciones de forma recurrente mediante la fórmula

xi+1=xi-f(xi)f'(xi)

El método de Bisección consiste en lo siguiente: De antemano debemos estar seguros dela continuidad de la función f(0) en el intervalo [a,b]. Luego debemos verificar que fa*fb<0 calculamos el punto medio m del intervalo [a,b].
A continuación calculamos f(m). En caso de que f(m) sea igual a cero,  ya hemos encontrado la raíz buscada. En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto a fa o fb. Se redefine el intervalo como [a,m] o [m,b] segúnse haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo. Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada.
Desarrollo

1) Para establecer la existencia de raíces de la ecuación x2-10cosx=0 en el intervalo [0,10] utilizamos el Teorema del Valor medio;
Sea f una funcióncontinua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo contrario en los extremos, entonces existe al menos un c  (a,b) tal que f(c) = 0.
En la ecuación dada remplazamos:
Ya que la función es continua en el intervalo podemos evaluarla en los valores extremos de tal:
F(x)= x2-10cosx=0
F(0)= o2-10cos0=-10
F(10)= 102-10cos10=108,39
Por lo tanto la función tiene al menos una solución en elintervalo [0,10]

2) En este caso se utiliza el método Newton-Raphson

* Idea principal: Dada una función f(x), uno comienza con una estimación inicial x0 cercana a la raíz de f, y luego uno aproxima la función por su tangente en el punto x0. El cruce de la tangente con el eje X nos dará una nueva aproximación, típicamente mejor que x0.
* La tangente a la función f(x) se encuentra apartir de la derivada f’(x), por lo que es necesario que f sea derivable.
* El algoritmo puede divergir si se llega a puntos donde la derivada es cercana o igual a cero.

El algoritmo utilizado en qoctave es:
new=ones(1,15);
f=inline('x.^2-10*cos(x)');
df=inline('(f(x+0.00000001)-f(x))/0.00000001');
new(1)=3;
for i=1:15
new(i+1)=new(i)-f(new(i))/df(new(i))
endfor
plot(new,'o')
Eneste caso, se eligió 3 como el valor de x0 y 15 como el número de iteraciones a realizar, habiendo considerado la alta velocidad de convergencia de la sucesión obtenida (más justificaciones en la pregunta 4). El resultado proporcionado por el software es igual a 1,37936, aproximando a 10-5 unidades.
En conclusión, utilizando el método de Newton-Raphson, se obtiene una raíz muy precisamenteaproximada de la función f propuesta.

3) Pasos para utilizar el sistema de Bisección:

* Supongamos que tenemos una función f(x) y conocemos dos puntos
x = a y x = b en los cuales f tiene signo distinto; es decir f(a) * f(b) < 0.
* Entonces, si f es continua, podemos asegurar que existe una raiz de f
en el intervalo (a; b).
* Podemos entonces...