Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones

Año de la Integración Nacional y el Reconocimiento de Nuestra Diversidad

CURSO:
MATEMÁTICA II

TÍTULO:
ECUACIONES DIFERENCIALES Y APLICACIONES



AUTORES:

AÑO 2012

INTRODUCCIÓN:

Es conocido para muchos que las ecuaciones diferenciales constituyen una parte fundamental de las Matemáticas, tanto desde un punto de vista puramente teórico como desde un enfoque más aplicado;por ello, es fundamental su estudio en todas las carreras científicas y técnicas.

En este trabajo desarrollaremos una aproximación a la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias, bajo un formato de rápida y sencilla comprensión.

En términos sencillos, una ecuación diferencial ordinaria, EDO en lo sucesivo, es una identidad en la que aparecen involucradas una función de una solavariable, que es la incógnita a determinar, y sus derivadas sucesivas. Por tanto, la carta de naturaleza de una ecuación diferencial ordinaria está determinada por la presencia de la derivada o las derivadas de una función de una variable

Una ecuación que establece una relación entre la variable independiente x, la función buscada y = y(x) y sus derivadas y, y’, y’’, …yn) se llama ecuación diferencial.F(x, y, y’, y’’, …, yn) = 0

F(x, y,


Por ejemplo:

son ecuaciones diferenciales.
La función desconocida, por ejemplo, de la ED es la cual depende de tres variables.

Clasificación:

Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad.

Clasificación por tipo:

Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO), si una ecuación contiene solo derivadas deuna o más variables dependientes respecto a una sola variable independiente, se dice que es una ecuación diferencial ordinaria.

Por ejemplo:

Es EDO, dado que la función desconocida y(x) depende de una

variable

son ecuaciones diferenciales ordinarias, dado que la función desconocida , en cada caso, depende de una variable.


Ecuación diferencial parcial (EDP), si una involucraderivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes, se llama ecuación diferencial parcial.

Por ejemplo:

, es una ecuación diferencial parcial, dado que la función desconocida depende de 3 variables.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales:

1.








Reemplazando:

Reemplazando en:

2.Clasificación por orden:

Se llama orden de una ecuación diferencial, al orden de la derivada superior que interviene en la ecuación.

Por ejemplo:
La ecuación diferencial es de primer orden.
La ecuación diferencial es de segundo orden (la derivada más alta en ella es ).

Clasificación por grado:

Se define el grado de la ecuación diferencial, como el grado de y(x) y sus derivadas.

Porejemplo:

El grado de la ecuación diferencial: es de tercer grado, dado

que la primera derivada está elevada cubo.

Cuándo una ecuación es Lineal o no Lineal?

Para ser lineal tiene que estar acompañada por funciones de x.

Por ejemplo:

x y’’’ + (2x - 1) y’’ + x y’ + sen x y = 0

y va acompañada (multiplicada) por una función de x. por lo tanto es lineal.

y’’’ + y’’ –y’ + y = ex . sen x

En todos los coeficientes y depende de x, y está igualada a una función de x, por lo tanto es lineal.

No será lineal cuando…

No es lineal por ser una potencia distinta de 1

y y’’ + y’ + 5y = 0 No es lineal, ya que los coeficientes que multipliquen a las derivadas tienen que ser funciones de x.

Ecuaciones de variables separables

Diremos que una ecuacióndiferencial de primer orden es de variables separables si puede escribirse en la forma:

y’ = f(x)g(y)

Siendo f (x) y g(y) funciones de una sola variable.

Las ecuaciones de variables separables se resuelven agrupando en un miembro de la ecuación los términos que dependen de x, y en el otro aquellos que dependen de y; a continuación, se integran ambos miembros para obtener la solución...