Ecuaciones diferenciales aplicadas

ECUACIONES
DIFERENCIALES
APLICADAS
APUNTES
DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA

MATEMÁTICAS

2011
ABEL VALDÉS
ENRIQUE PÉREZ
MARIO MONDRAGÓN
LUÍS RANGEL
PATRICIA FLORES
GERARDO JUÁREZ

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS

ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS

2011

INTRODUCCIÓN.
Definición. Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que contienelas variaciones:
derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto de una o más
variables independientes.
Una ED se representa por medio de una función, en forma simbólica se tiene.
Donde

significa la derivada

de

(la variable dependiente) con respecto de

(la

variable independiente)
O bien.

Donde el símbolo
que

significa derivación parcial.

sonlas variables independientes mientras

es la variable dependiente.

Clasificación.
Las ecuaciones diferenciales ED se clasifican por tipo, orden y linealidad.
TIPO. Las ecuaciones diferenciales pueden ser ordinarias EDO, cuando la ecuación diferencial
contiene únicamente derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto de
una sola variable independiente. O bienecuaciones diferenciales parciales EDP , cuando la
ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con
respecto a dos o más variables independientes.
ORDEN. El orden de una ecuación diferencial se refiere al orden de la derivación más alta que
se presenta en la ecuación diferencial y no debe confundirse con el grado de una ecuación
diferencial. Para ejemplificaresta frecuente confusión se tiene que.
Es la segunda derivada de una función (orden 2), mientras que
elevada al cuadrado (grado 2),

Es la primer derivada

Sucede algo semejante con la derivación parcial

Linealidad. Una ecuación diferencial es lineal cuando cumple con la condición de linealidad (se
formalizará más adelante este concepto, conocido también como superposición), donde elgrado
de todas las derivadas parciales u ordinarias es uno y no existen productos o cocientes o
cualquier otra operación entre las derivadas y las funciones involucradas dependen solamente
de la o las variables independientes. En el caso de las ordinarias se tiene la forma general
(EDO lineales).

Donde.

ESIQIE

son funciones que dependen solamente de .

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Solución de una ecuación diferencial.
Una ecuación diferencial ordinaria de orden
como solución a la función explícita

,

tiene

en un intervalo

llamado el dominio

de solución, si cumple con la identidad.

O bien la ecuación diferencial parcial
solución a la función explícita

tiene como
que también cumple la identidad.

significa “idéntico a”

Elsímbolo

Solución general de una ecuación diferencial.
La ecuación diferencial ordinaria

tiene como solución

general una función

que contiene

arbitrarias, debido a que a de ser

integrada

constantes esenciales y

veces, para determinar la

solución.
Si

En otras palabras al sustituir las

derivadas se tiene una identidad.

En particular.
La EDO de primer ordenexplícita) o bien

tiene como solución
(solución implícita), donde

(solución
y

son constantes

esenciales y arbitrarias
La EDO lineal de segundo orden
, donde
las funciones
La EDP

y

tiene como solución
y

son las constantes esenciales y arbitrarias,

también son soluciones por separado
tiene como solución

que contiene

como constantes esenciales y arbitrarias.ESIQIE

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Solución particular de una ecuación diferencial.
Condiciones iniciales (Problema de valor inicial).
Una solución particular
establecer

condiciones

de la EDO

se encuentra al

iniciales

manera que la solución

,

de tal

no contiene constantes arbitrarias, lo mismo

sucede con la EDP

que al proporcionar...