Ecuaciones diferenciales ejercicio fisico

Una boya cilíndrica de radio r, altura h y densidad ᵨ boya se encuentra flotando en la superficie de un lago, como se muestra en la figura. Inicialmente la boya se encuentra en equilibrio; derepente se sumerge una distancia xo y se suelta con velocidad igual a cero. Determine la ecuación diferencial que modela el sistema y su solución. Si la boya tiene dimensiones h=1 m, r=0.5 m, y su densidades ᵨ agua=500 kg/m3. Determine la posición y la velocidad de la boya en todo tiempo, si se sumerge una profundidad de x0 =0.01 m, a partir de la posición en equilibrio. Recuerde que g=9:8 m/s2 y que ᵨagua =1000 kg/m3.





Según la flotación de Arquímedes, la boya está en equilibrio cuando la fuerza de flotación es igual al peso de la boya.
Volumen de la boya
Peso de la boyapor lo tanto Ec. 1

Por otra parte, supongamos que la boya está en equilibrio cuando se encuentra sumergida una altura H.

Como la fuerza de flotación es igual al peso del líquidodesplazado tenemos que:

Ec. 2



Principio de Arquímedes 1 = 2


Ec. 3

Sobre esta altura sumergimos la boya una altura adicional X0 y la soltamos con unavelocidad . Entonces es decir el sistema deja de estar en equilibrio y empieza a oscilar.
En cualquier momento la posición de equilibrio se encuentra a una distancia X con respecto al agua.

Suponemosque x es negativa cuando la posición de equilibrio de la boya está sumergida una distancia x; es positiva cuando dicha posición de equilibrio se encuentra a una distancia x arriba del agua. La fuerzaque siente la boya en cualquier momento es:




Según la segunda ley de Newton, , el movimiento de la boya se describe, a partir de la posición en equilibrio, por medio de:Despejando Ec. 4
Esta ecuación diferencial es del tipo masa-oscilador que hemos estado estudiando. La frecuencia natural es:

Ec. 5


Reemplazamos 5 en 4
E.D.L HOMOGENEA...