ECUACIONES DIFERENCIALES - EJERCICIO RESUELTO

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

HABID E. SANTIAGO MÉNDEZ
JOSÉ D. ZÁRATE BARRAZA
CRISTIAN SUÁREZ PALMA

PROFESORA:
LIC. SANDRA LUZ LORA CASTRO
ECUACIONES DIFERENCIALES
GRUPO ED

UNIVERSIDAD DE LA COSTA CUC
FACULTAD DE INGENIERÍA

06 DE NOVIEMBRE DE 2012

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Ejercicio Nº 14 de la página 279 del libro Ecuaciones Diferenciales con
Aplicaciones de Modelado, DennisG. Zill 7ª Edición.

SERIE DE POTENCIAS

Determine dos soluciones en forma de serie de potencias de la ecuación
diferencial, respecto al punto ordinario

Por tanto su solución general en la forma

.

.

Sustituyendo

en la ecuación diferencial se tiene:

Y

EJERCICIOS DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS

Encuentre una solución particular a:
1)

Si se sabe que la solución generala la homogénea auxiliar es:

Para el ejercicio:

Por tanto se tiene:

Y

Resolviendo las integrales:

Continuando:

Encuentre una solución particular a:
2) Encuentre la solución general a:

Resolvemos la ecuación homogénea auxiliar.

Para su resolución planteamos la ecuación característica de Cauchy – Euler.

Las raíces corresponden a:

Se aplica el I caso de la soluciónhomogénea de Cauchy – Euler, recordando que
esta tiene la forma:

Se tiene:

Ahora, resolviendo por el método de variación de parámetros dividimos toda la
ecuación diferencial entre

de lo cual resulta:

Se tiene:

Integrando:

Y

De donde:

Por tanto se tiene:

3)
Dado que

y

formando un conjunto fundamental de soluciones para

EDO homogénea asociada

Sea
Entonces:(A)
Después:

una solución particular

SUSTITUYENDO

Después se obtiene:

(B)
Entonces

deben satisfacer el sistema formado por las ecuaciones (A) Y

(B)

EL DETERMINANTE DEL SISTEMA ES

LA SOLUCION DEL SISTEMA ES

Integramos

Luego de integrar tomando

y

se tiene que, una solución

particular es:

La solución es

4)

DADO QUE

y

para EDO homogéneaasociada

formando un conjunto fundamental de soluciones

Sea

una solución particular

Entonces:

(A)
ENTONCES

SUSTITUYENDO
SE OBTIENE

DIVIDIENDO POR

Entonces
(B)

deben satisfacer el sistema formado por las ecuaciones (A) Y

Determinante del sistema es

La solución del sistema es

Integramos solución

Luego de integrar tomando
solución particular es:

y

setiene que, una

Solución general es:

5)
La posición y la aceleración, en función del tiempo, de una masa puntual
moviéndose unidimensionalmente, vienen relacionadas por la ecuación diferencial:

x(t )  a(t )  tg t  0

Determinar la ecuación del movimiento (posición en función del tiempo) de la
partícula si la misma parte del origen con una velocidad de 3 m/s.

SOLUCIÓN

Expresandola aceleración como la derivada segunda de la posición y
reordenando la ecuación tenemos:

x(t )  x(t )  tg t

La solución de la ecuación homogénea asociada. Es ésta:

x(t )  x(t )  0

La ecuación característica es:

2  1  0      i  xc  C1 cos t  C2 sen t

Ahora debemos hallar una solución particular del problema no homogéneo.
x*  v1 cos t  v2 sen t

Hallemosahora v1 y v2:




 v1 cos t  v 2 sent  0

 v  sent  v  cos t  tgt  sent
2
 1
cos t



multiplicando arriba por sent
y abajo por cost




 v1 cos tsent  v 2 sen 2 t  0



2


 v1 sent cos t  v 2 cos t  sent

Si ahora sumamos las dos ecuaciones de este último sistema tendremos.

Re emplazando en la


v 2  sent  v 2   cos tprimera ecuación






v1 cos tsent  sen 3 t  0  v1  

sen 2 t

cos t

tablas

1  cos 2 t
1 

 cos t 
 v1  sent  log sec t  tgt
cos t
cos t

Con las funciones v1 y v2 así obtenidas podemos escribir:

x  v1 cos t  v2 sent  sent  log sec t  tgt  cos t  cos tsent  log sec t  tgt  cos t

Con lo cual la solución general del problema no...