ECUACIONES DIFERENCIALES UNAL

Matem´tica IV - 2000953
a
Taller, Ecuaciones de orden 1
1. Resuelva

dy
y3
=
,
dx
1 − 2xy 2

y(0) = 1.

R: y 2 x = ln y.
2. Determine la soluci´n general de la ecuaci´n
o
o
(y − 4x)dx + (y − x)dy = 0.
3. Una persona tiene una fortuna que aumenta en una raz´n proporcional
o
a su cuadrado. Si hace un a˜o esa fortuna era de mil millones de pesos
n
y en la actualidad es de dosmil millones, cual ser´ el valor de dicha
a
fortuna dentro de seis meses? Y dentro de dos a˜os?
n
R: 4 mil millones
4. Encuentre una ecuaci´n diferencial lineal homog´nea de coeficientes
o
e
constantes cuyo orden sea el menor posible y que tenga a la funci´n
o
ex sin 2x + 3e−x
como soluci´n.
o
5. Considere la la ecuaci´n aut´noma
o
o
y = y2 + y
a) Halle sus soluciones deequilibrio.
b) Clasif´
ıquelas.
c) Haga un bosquejo de las diferentes tipos de curvas soluci´n que se
o
puedan presentar.
1
6. Use el factor integrante x2 +y2 para hallar la soluci´n general de la ecuao
ci´n
o
(y + x5 + x3 y 2 )dx − xdy = 0.

1

7. Suponga que un recinto contiene 1.200 pies c´bicos de aire y est´ libre
u
a
de mon´xido de carbono. A partir del instante t = 0, se introduceal
o
recinto humo de cigarrillo, que contiene 4 % de mon´xido de carbono,
o
a raz´n de 0, 1 pies c´bicos por minuto y se permite que la mezcla bien
o
u
circulada salga a la misma raz´n.
o
a) Halle una expresi´n x (t) que determine la cantidad de mon´xido
o
o
de carbono en el tiempo t (t ≥ 0).
R: x(t) = 48(1 − e(−1/12,000)t )
b) La exposici´n prolongada a una concetraci´n superior a0.00012
o
o
es da˜ina para el organismo humano. Halle el instante τ en que
n
se alcanza esta concentraci´n.
o
R: 36 minutos aproximadamente.
Soluci´n: El modelo correspondiente es:
o
dx
x
= (0,1) (0,04) −
(0,1)
dt
1, 200
x
= 0,004 −
,
12, 000
separando variables e integrando tenemos:
−12, 000 ln 0,004 −

x
12, 000

= t + C,

despejando x = x (t) tenemos:
1

x (t) = 48− 48e− 12,000 t ,
sea τ es tiempo necesario para obtener la concentraci´n deseada, eno
tonces
1
x (τ ) = (0,00012) (1, 200) = 48 − 48e− 12,000 τ ,
despejando τ tenemos que
τ = −12, 000 ln

48 − 0,144
48

≈ 36,05410824,

que corresponde a 36 minutos aproximadamente.
2

8. Se bombea agua a un tanque cil´
ındrico recto de secci´n transversal
o
constante A a una raz´n constante k. Elagua sale por un peque˜o
o
√ n
orificio de ´rea a ubicado en el fondo del tanque a una raz´n de αa 2gh
a
o
donde h es la profundidad del agua en el tanque, g es la aceleraci´n de
o
la gravedad y α es una constante (0, 5 ≤ α ≤ 1).
a) Determine la raz´n de cambio de la profundidad h del agua. R:
o
√
dh/dt = (k − αa 2gh)/A
b) Encuentre la profundidad de equilibrio he y diga si es o no esestable. R: k 2 /2α2 a2 g.
9. Una soluci´n que contiene 2 libras de sal por gal´n empieza fluir a un
o
o
dep´sito que contiene 50 galones de agua pura a raz´n de 3 gal/min.
o
o
Despu´s de 3 minutos la mezcla comienza a salir a raz´n de 3 gal/min.
e
o
a
o
e
a) Cu´nta sal hay en el dep´sito despu´s de 2 minutos?
b) Cu´nta despu´s de 25 minutos?
a
e
c) Cu´nta sal tiende a haber enel dep´sito a medida que el tiempo
a
o
transcurre indefinidamente?
o
10. Una cierta familia de curvas constituye la soluci´n general de la ecuaci´n
o
2xy
y =− 2
, x = 0, y = 0.
x + y2
Halle las trayectorias ortogonales a dicha familia.
o
11. Halle un factor integrante para la ecuaci´n inexacta
(2x2 + y)dx + (x2 y − x)dy.
12. Resuelva la ecuaci´n del punto 3 usando el factor integranteencontrado.
o
13. La ecuaci´n
o

y 2 − x2 + 1
2xy
no es exacta. H´llele un factor integrante y uselo para resolverla.
a
´
y =

14.

a) Halle una ecuaci´n diferencial cuya soluci´n general sea la familia
o
o
de c´
ırculos que pasan por los puntos (-1,0) y (1,0).
3

b) Halle una ecuaci´n diferencial cuya soluci´n general sea la familia
o
o
ortogonal a la familia de...