Ecuaciones Diferenciales I

2008

apuntes de
ecuaciones
diferenciales I

Pepe Aranda
Métodos Matemáticos
Físicas Complutense
www.ucm.es/centros/webs/d215

Ecuaciones Diferenciales I (grupo C piloto)

2008–2009

Índice
Sobre las versiones de los apuntes
Bibliografía

Introducción

i
iii

1

1. Ecuaciones de primer orden
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5

3

Métodos elementales de resolución
Dibujo aproximado de soluciones
Existencia,unicidad, prolongabilidad
Estabilidad
Ecuaciones autónomas

5
10
13
19
22

1.6 Métodos numéricos

25

2. Sistemas y ecuaciones lineales
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6

Propiedades generales
Sistemas de 2 ecuaciones lineales y ecuaciones lineales de orden 2
Ecuaciones y sistemas lineales de orden n
Estabilidad de sistemas y ecuaciones lineales
Transformada de Laplace
Soluciones periódicas de ecuacioneslineales

3. Soluciones por medio de series
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5

Funciones analíticas
Puntos regulares
Puntos singulares regulares
Ecuación de Legendre, Hermite y Bessel
El punto del infinito

4. Mapas de fases
4.1
4.2
4.3
4.4

27

Problemas
Problemas
Problemas
Problemas

1
2
3
4

Problemas
Problemas
Problemas
Problemas

adicionales
adicionales
adicionales
adicionales

91
92
93
94
1
2
3
4

56
58
61
6670
71

Sistemas de dos ecuaciones autónomas
Clasificación de puntos críticos
Sistemas y ecuaciones exactos
¿Centro o foco?

95
97
99
101

55

72
75
84
88

29
31
40
45
48
53

Sobre las versiones de los apuntes
La primera versión de estos apuntes fue la de 1999, adaptación de los apuntes de EDOs
para la asignatura Métodos Matemáticos II de un viejo plan de estudios, en los que se trataban algunostemas más avanzados (la asignatura actual es de 2o curso en lugar de 3o , y
tiene 6 créditos (4 horas semanales) en lugar de 7.5 (5 horas)). Desaparecieron resultados
de prolongabilidad, estabilidad, soluciones periódicas, funciones de Lyapunov...
En la versión 2000 sobre todo se introdujeron bastantes ejemplos nuevos en muchas
secciones (en 1.1, 1.2, 2.2, 2.4, 2.5, 3.2, 3.3, 4.2, 4.3 y 4.4),pasaron a estar en ‘letra pequeña’ algunos temas (métodos numéricos o transformadas de Lapace de la δ , por ejemplo),
apareció la ecuación de Hermite,... y como todos los cursos se modificaron los problemas
incluyendo los de examen, se trasladaron otros a los adicionales...
En el año 2001 hubo pocas novedades (ligeras precisiones nuevas en un teorema, cambios de problemas, corección de erratas...) ycasi lo mismo en el 2002.
En la versión 2003 principalmente se modificó la introducción a los apuntes y se reescribieron y se añadieron diferentes ejemplos a las secciones 1.3 y 1.4 (las que suelen tener
mayor dificultad de comprensión). En 2004 no hubo cambios apreciables en la parte de
teoría.
La versión 2005 mantuvo los contenidos de las anteriores, pero se retocaron casi todas las secciones (yejemplos), algunas ligeramente y otras bastante profundamente. Los
mayores cambios fueron:
• En 1.1 se dio más sitio a las lineales. Se detallaron más las técnicas generales de dibujo
en 1.2. En 1.3 se aclararó el uso de la ecuación equivalente. En 1.4 se insistió más en las
lineales. 1.5, 1.6 y 1.7 cambiaron poco.
• 2.1 quedó casi igual. Algunos teoremas sobre sistemas en 2.2 cambiaron de sitio,se
añadieron comentarios y se extendieron ejemplos. La sección 2.3 se dividió en dos y pasó
2.4 a contener la estabilidad. El nuevo 2.3 pasó a tratar primero las ecuaciones de orden n
y luego los sistemas, y la estabilidad de 2.4 también se retocó (con nuevos ejemplos en los
tres casos). En la transformada de Laplace (nuevo 2.5) se añadieron comentarios y ejemplos
y se reordenaron otros. Lassoluciones periódicas sólo tuvieron cambios cosméticos.
• 3.1 cambió poquito. 3.2 pasó a empezar por un ejemplo y se redactó de nuevo el teorema. En 3.3 se pasó a trabajar desde el principio en t = 0 , introduciendo antes la [e*], y
la constante a del teorema de Frobenius pasó a llamarse d . Se sacaron del viejo 3.4 las
alusiones al punto del infinito (formando una nueva seccioncilla 3.5) y se pasó a...