Ecuaciones diferenciales

ECUACION DIFERERNCIAL

Una ecuación diferencial (ED)es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una mas derivadas de esta función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes, si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, sidepende de más de una variable, se llama parcial .
La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es dicir, son siempre verdaderas sin importar quien sea la función desconocida .
Ejemplo:

+ =1
Esta ecuacion es satisfecha porcualquier función de una variable que sea derivable. Otro ejemplo es
-

Es claro que lo que esta detrás de esta ecuación es la formula notable
; Por lo que la ecuacion es satisfactoria por cualquier función derivable. Nuestra ecuación se centra sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que tiene a “y” como una variable dependiente y a “x”como una variable independiente se acostumbra a expresar en la forma
F

Para algún entero positivo “n”. si podemos despejar de esta ecuación la derivada más alta, obtenemos una o más ecuaciones de orden “n” de la forma

=G(x,y, ,…..,
Ejemplo
La ecuación +xy´ =0 es equivalente a las dos ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en varias categorías,como ya vimos según su tipo en ordinarias y parciales, según su linealidad u orden.

Ecuaciones en variables separadas
Las ecuaciones diferenciales de primer orden son las mas simples de resolver, al menos en teoría. Muchos problemas de la física, biología, economía, ingeniería, etc., conducen a problemas de valor inicial que involucran ecuaciones de primer orden.
Durante muchos años losmatemáticos se esforzaron por resolver tipos específicos de ecuaciones diferenciales. Debido a esto existen hoy en día muchas técnicas de soluciones
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden puede escribirse en la forma:
f(x)dx+g(y)dy=0
se llama ecuación diferencial en variables separadas
Una ecuación es separable porque simple y sencillamente las variables “x” y “y” se pueden separar, comose muestra a continuación:
Una ecuación de la forma :

Puede transformarse en una ecuación en variables separadas al dividir por el factor f2(x) g1 (y)


Y al integrar obtendremos la solución

Debemos tener presente que al dividir por el factor f2(x)g1(y) podemos encontrar soluciones que anulan este factor, las cuales pueden ser solucione singulares.

1) Ejemplo
Al reolver laecuacion diferencial ordinaria
3 Tang(y)dx+(2 ) (y)dy=0
Dividiendo por el factor tang(y)(2- )
Obtenemos

Y al integrar
-3Ln|2 |+Ln|Tan(y)=c
Simplificando

Podemos observar que el factor Tan(y)(2- )es cero cuando x=ln(2)y y=kx con k Z y al sustituirlas en las ecuaciones original se comprueba que son soluciones, pero se obtienen de la solución general tomando c=+ y c=0respectivamente2) Ejemplo
La familia de una curva está dada por :

(2,1)

Separando variables


Integrando
Ln(3+ )+ln(2+ )=c

Simplificando
(3+ (2+ -c
Evaluando en el punto (2,1)obtenemos que c=24, con elcon el cual el miembro de la familia buscado es
(3+ )(2+ )=24
La recta de la curva (3+ )(2+ )=24 en el punto (2,1)se muestra en la figura


4 _|3

Recta tangente a la curva (3+ )(2+ )=24

Ecuaciones diferenciales exactas
Se dice que una ecuación diferencial
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
Es exacta si el campo vectorial asociado
F(x,y)=M(x,y) +N(x,y) , es conservativo.
La solución general de la ecuación diferencial exacta
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
Esta dada por f (x,y)=c, donde f(x,y) es la función potencial del campo...