Ecuaciones Diferenciales

Cap´ ıtulo 10

Ecuaciones en derivadas parciales I: Matlab PDE toolbox
Contenidos del cap´ ıtulo
10.1. Bases del m´todo de los elementos finitos . . . . . . . . . . 142 e 10.2. Usando la interfaz gr´fica de la PDE toolbox . . . . . . . . 143 a 10.2.1. Men´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 u 10.2.2. Barra de herramientas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145 10.3. Definici´n de geometr´ complicadas . . . . . . . . . . . . 146 o ıas 10.3.1. Creando esquinas redondeadas . . . . . . . . . . . . . . . . 147 10.4. M´todo sugerido de modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 e 10.5. Ejemplos de problemas el´ ıpticos: la ecuaci´n de Poisson . 149 o 10.6. Ejemplos de problemas parab´licos: la ecuaci´n del calor 149 o o 10.7. Ejemplos de problemashiperb´licos: la ecuaci´n de ondas 151 o o 10.8. Ejemplos de problemas de autovalores: modos de vibraci´n152 o

Muchos de los problemas estudiados por diversas disciplinas de la ingenier´ como ıa la mec´nica de medios continuos, el electromagnetismo, la transferencia de calor . . . , a involucran el estudio de magnitudes que evolucionan no solamente en tiempo sino tambi´n en las variables espaciales.Por esta raz´n, la formaci´n de un ingeniero e o o no debe cubrir unicamente el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias, sino ´ tambi´n el modelado de sistemas mediante ecuaciones en derivadas parciales. Sin e embargo, en muy pocas ocasiones puede obtenerse una soluci´n anal´ o ıtica a estos problemas, especialmente cuando el dominio computacional presenta una geometr´ ıa complicada.Aunque existen varios enfoques distintos para la resoluci´n num´rica de o e estos problemas, quiz´ el m´s extendido en la comunidad ingenieril es el m´todo de a a e los elementos finitos. En este cap´ ıtulo analizamos las funcionalidades que Matlab incorpora en este campo mediante su toolbox para ecuaciones en derivadas parciales. 141
Versi´n del 29/10/2004 ohttp://matematicas.uclm.es/ind-cr/him/index.html

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Herramientas inform´ticas de las matem´ticas en ingenier´ a a ıa

Figura 10.1: (Izquierda) Malla generada con elementos triangulares. (Derecha) Funci´n lio
neal continua a trozos sobre esa malla.

10.1.

Bases del m´todo de los elementos finitos e

Incluso la soluci´n de ecuaciones en derivadas parciales sencillas en geometr´ o ıas complicadas raramente puede expresarseen t´rminos de funciones elementales. De e este modo, nos enfrentamos a dos problemas: en primer lugar, la necesidad de describir una geometr´ complicada y generar una malla en ella. Una vez que se ha realizado ıa el mallado, discretizar la ecuaci´n en derivadas parciales en esta malla y resolver la o ecuaci´n para la aproximaci´n discreta de la soluci´n. La interfaz gr´fica de Matlab o o o apdetool, parte de la “PDE toolbox”, proporciona una herramienta gr´fica de f´cil a a manejo para la descripci´n de estas geometr´ complicadas, generaci´n de mallas, o ıas o resoluci´n de la ecuaci´n discretizada y representaci´n de resultados. A continuaci´n o o o o se presenta un peque˜o resumen de las bases en la que se fundamenta la misma, el n m´todo de los elementos finitos (FEM). e El punto deinicio es aproximar el dominio computacional Ω como la uni´n de o objetos geom´tricos sencillos, en este caso tri´ngulos. Seguidamente se impone que e a la soluci´n deber´ ser simple en cada uno de los tri´ngulos. Los polinomios son una o ıa a buena elecci´n: son f´ciles de evaluar y tienen buenas propiedades de aproximaci´n o a o en dominios peque˜os, pudi´ndose conseguir conectar las solucionessobre los lados n e de tri´ngulos vecinos de modo que se consiga una soluci´n aproximada continua. Para a o ello debemos elegir el orden de los polinomios que vamos a emplear. Si emple´semos a constantes su evaluaci´n en cada tri´ngulo ser´ muy sencilla, pero no podr´ o a ıa ıamos a ınimo orden que podemos pedir a emparejar los valores de tri´ngulos vecinos. El m´ los polinomios para cumplir los...