Ecuaciones Diferenciales
Páginas: 5 (1046 palabras)
Publicado: 1 de agosto de 2011
Introducción
Este trabajo a sido concebido con el principal propósito de ayudar mediante ejemplos a la resolución de problemas sobre la aplicación de EDO’s (ecuaciones diferenciales) a las mezclas y fluidos; para lo cual nos ayudaremos de las ecuaciones diferenciales de 1er grado.
Principios Teóricos
Mezclas
Definamos la concentración de una sustancia como:
Concentración = Cantidadde sustancia/Volumen total
Cuando tenemos un recipiente conteniendo una mezcla homogénea; el cual tiene una entrada y una salida; entonces:
En un instante cualquiera una sustancia presente en la mezcla se definirá como:
Donde:
Q (t) = cantidad de sustancia.
Qe = cantidad de sustancia de entrada.
Qs = cantidad de sustancia de salida.
Además sabemos que:
Qe = Ve*Ce.
Qs =Vs*Cs.
Donde:
Ve = Volumen entrante.
Vs = Volumen de salida.
Ce = Concentración de entrada.
Cs = Concentración de salida.
El volumen en un tiempo cualquiera será:
V (t)=V0 + (Ve - Vs) t
Donde:
V (t) = cantidad de sustancia.
Ve = cantidad de sustancia de entrada.
Vs = cantidad de sustancia de salida.
Entonces la concentración de la sustancia en el recipienteserá:
C (t) = Q (t) / V (t)
Derrama de fluidos
Si tuviésemos un depósito conteniendo a un líquido que escapa por un orificio del depósito (no existe flujo de entrada); entonces:
Puesto que la altura de carga varía con el tiempo, sabemos que , es decir el flujo no es estacionario. Esto significa que la ecuación de energía debe corregirse introduciendo un término de aceleración, que complicamucho la solución. En tanto la altura de la carga no varíe demasiado rápido no se producirá un apreciable error el suponer el flujo estacionario y, por consiguiente, despreciar el termino de carga de aceleración.
Sean V(t) y h(t) el volumen de agua en el deposito y la altura del liquido por encima del orificio, en un instante t después de empezado el proceso:
Por Torricelli sabemos que:Pero la diferencial del volumen también se puede expresar de la siguiente manera:
dV = A(h)*d(h)
Entonces quedaría:
Tendríamos una relación entre la altura y el tiempo.
Ejercicios
1) Una fábrica de papel esta situada cerca de un río con fluido constante de 100 m3/seg.; el cual va a dar a la única entrada de un lago de volumen 109 m3. Suponga que en el instante t = 0, la fabrica depapel empieza a bombear contaminantes al río a razón de 1 m3 por segundo; y que la entrada y salida del lago son constantes e iguales ¿cual será la concentración de contaminantes en el lago al cabo de un tiempo t?
Solución:
Sea X (t) la cantidad de sal que hay en el tanque en el instante t; entonces la velocidad de entrada de sal al tanque en el instante t es:
También en el instante t, lacantidad de líquido en el tanque es de:
La concentración es de:
La velocidad de salida de la sal es de:
Luego nuestra ecuación diferencial es:
Para resolverla consideremos la ecuación Homogénea:
Que se puede escribir:
La solución de la homogénea es:
Haciendo variar la constante: c = c (t) y reemplazando en la no homogénea tenemos:
Por lo tanto:
Como x (0) = 0, tenemos c=10006, y entonces nuestra solución es:
Así, la concentración de sal en el instante t es de:
Tenemos que encontrar t tal que:
Entonces:
Por tanto:
t = 1000 min.
2) Cierto producto químico se disuelve en el agua a una velocidad proporcional al producto de la cantidad aun no disuelta y la diferencia entre las concentraciones en una solución saturada y la concentración en lasolución real. Si sabe que en 100 gr. de una solución saturada están disueltos 50 gr. de la sustancia. Si se agitan 30 gr. del producto químico con 100 gr. de agua en 2 horas se disuelven 10 gr. ¿Cuánto se disolverá en 6 horas?
Solución:
Sea Q (t) = numero de gramos del producto químico no disuelto después de un instante t.
La concentración real será: Cr(t) = ; y la concentración...
Este trabajo a sido concebido con el principal propósito de ayudar mediante ejemplos a la resolución de problemas sobre la aplicación de EDO’s (ecuaciones diferenciales) a las mezclas y fluidos; para lo cual nos ayudaremos de las ecuaciones diferenciales de 1er grado.
Principios Teóricos
Mezclas
Definamos la concentración de una sustancia como:
Concentración = Cantidadde sustancia/Volumen total
Cuando tenemos un recipiente conteniendo una mezcla homogénea; el cual tiene una entrada y una salida; entonces:
En un instante cualquiera una sustancia presente en la mezcla se definirá como:
Donde:
Q (t) = cantidad de sustancia.
Qe = cantidad de sustancia de entrada.
Qs = cantidad de sustancia de salida.
Además sabemos que:
Qe = Ve*Ce.
Qs =Vs*Cs.
Donde:
Ve = Volumen entrante.
Vs = Volumen de salida.
Ce = Concentración de entrada.
Cs = Concentración de salida.
El volumen en un tiempo cualquiera será:
V (t)=V0 + (Ve - Vs) t
Donde:
V (t) = cantidad de sustancia.
Ve = cantidad de sustancia de entrada.
Vs = cantidad de sustancia de salida.
Entonces la concentración de la sustancia en el recipienteserá:
C (t) = Q (t) / V (t)
Derrama de fluidos
Si tuviésemos un depósito conteniendo a un líquido que escapa por un orificio del depósito (no existe flujo de entrada); entonces:
Puesto que la altura de carga varía con el tiempo, sabemos que , es decir el flujo no es estacionario. Esto significa que la ecuación de energía debe corregirse introduciendo un término de aceleración, que complicamucho la solución. En tanto la altura de la carga no varíe demasiado rápido no se producirá un apreciable error el suponer el flujo estacionario y, por consiguiente, despreciar el termino de carga de aceleración.
Sean V(t) y h(t) el volumen de agua en el deposito y la altura del liquido por encima del orificio, en un instante t después de empezado el proceso:
Por Torricelli sabemos que:Pero la diferencial del volumen también se puede expresar de la siguiente manera:
dV = A(h)*d(h)
Entonces quedaría:
Tendríamos una relación entre la altura y el tiempo.
Ejercicios
1) Una fábrica de papel esta situada cerca de un río con fluido constante de 100 m3/seg.; el cual va a dar a la única entrada de un lago de volumen 109 m3. Suponga que en el instante t = 0, la fabrica depapel empieza a bombear contaminantes al río a razón de 1 m3 por segundo; y que la entrada y salida del lago son constantes e iguales ¿cual será la concentración de contaminantes en el lago al cabo de un tiempo t?
Solución:
Sea X (t) la cantidad de sal que hay en el tanque en el instante t; entonces la velocidad de entrada de sal al tanque en el instante t es:
También en el instante t, lacantidad de líquido en el tanque es de:
La concentración es de:
La velocidad de salida de la sal es de:
Luego nuestra ecuación diferencial es:
Para resolverla consideremos la ecuación Homogénea:
Que se puede escribir:
La solución de la homogénea es:
Haciendo variar la constante: c = c (t) y reemplazando en la no homogénea tenemos:
Por lo tanto:
Como x (0) = 0, tenemos c=10006, y entonces nuestra solución es:
Así, la concentración de sal en el instante t es de:
Tenemos que encontrar t tal que:
Entonces:
Por tanto:
t = 1000 min.
2) Cierto producto químico se disuelve en el agua a una velocidad proporcional al producto de la cantidad aun no disuelta y la diferencia entre las concentraciones en una solución saturada y la concentración en lasolución real. Si sabe que en 100 gr. de una solución saturada están disueltos 50 gr. de la sustancia. Si se agitan 30 gr. del producto químico con 100 gr. de agua en 2 horas se disuelven 10 gr. ¿Cuánto se disolverá en 6 horas?
Solución:
Sea Q (t) = numero de gramos del producto químico no disuelto después de un instante t.
La concentración real será: Cr(t) = ; y la concentración...
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