ecuaciones diferenciales

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Optica y Optometr´
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Res´menes
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Curso 2007-2008

UNIVERSIDAD DE MURCIA
Departamento de Matem´ticas
a

Ecuaciones diferenciales.
Llamaremos ecuaci´n diferencial a una ecuaci´n del tipo
o
o
F (x, y, y , y , . . . , y (n) ) = 0
que liga una variable independiente x y una funci´n y = y(x) junto con una o m´s de sus derivadas.
o
a
A la funci´n y se le llama funci´n inc´gnita. Sellama orden de la ecuaci´n diferencial al de la
o
o
o
o
derivada de mayor orden que aparece en dicha ecuaci´n. Se llama soluci´n de la ecuaci´n diferencial
o
o
o
a una funci´n y = f (x) que verifica la ecuaci´n.
o
o
Ecuaciones diferenciales de primer orden.Vamos, en esta secci´n, a estudiar la soluci´n de algunas ecuaciones diferenciales de primer orden.
o
o
Una ecuaci´n diferencialde primer orden es una ecuaci´n en la que s´lo aparecen derivadas de primer
o
o
o
orden y es del tipo:
dy
= F (x, y)
y =
dx
una condici´n inicial se puede expresar de la forma y(xo ) = y0 y una funci´n y = f (x) es soluci´n si
o
o
o
se cumple f (x) = F (x, f (x)).
Ecuaci´n de variables separables.- Se trata de una ecuaci´n del tipo:
o
o
ϕ(x) + ψ(y)y = 0 o bien ϕ(x) + ψ(y)

dy= 0,
dx

o bien que se pueden reducir a un caso como este en el que podemos agrupar por separado las dos
variables. Entonces podemos proceder como:
ϕ(x)dx + ψ(y)dy = 0,

luego

ϕ(x)dx +

ψ(y)dy = C

de donde se obtiene la soluci´n.
o
Ecuaciones homog´neas.- Una funci´n de dos variables f (x, y) se llama homog´nea de grado n si
e
o
e
verifica, para todo n´mero real λ que:
u
f(λx, λy) = λn f (x, y)
Una ecuaci´n diferencial es homog´nea si se puede escribir de la forma:
o
e
f (x, y)dx + g(x, y)dy = 0
donde f y g son funciones homog´neas del mismo grado. Entonces haciendo el cambio de variable
e
y = xv donde v es una funci´n de x v = v(x) derivable; entonces dy = vdx + xdv y la ecuaci´n
o
o
homog´nea se reduce a una ecuaci´n de variables separables.
e
oEcuaciones lineales de primer orden.- Una ecuaci´n diferencial de primer orden es una ecuaci´n
o
o
diferencial que s e puede escribir de la forma:
y + p(x)y = q(x),
donde p y q son dos funciones continuas.

o bien

dy
+ p(x)y = q(x)
dx

Si q(x) = 0, la ecuaci´n se llama lineal homog´nea y tenemos una ecuaci´n de variables separables
o
e
o
que se puede resolver:
dy
+ p(x)y = 0,
dxluego

dy
+ p(x)dx = 0
y

e integrando obtenemos
ln |y| +

p(x)dx = ln C,
y
=−
C

ln

de donde

ln |y| − ln C = −

p(x)dx y despejando y = Ce−

R

p(x)dx

p(x)dx

.

Si q(x) = 0, resolvemos, como antes, el caso en que q(x) = 0 y entonces hacemos variar la constante c
como una funci´n c = c(x) y ponemos
o
y = c(x)e−

R

p(x)dx

de donde y = c (x)e−

;

Rp(x)dx

− c(x)e−

R

p(x)dx

p(x)

si sustituimos en la ecuaci´n diferencial inicial:
o
c (x)e−

R

y simplificando
c (x)e−

p(x)dx

R

− c(x)e−

p(x)dx

R

p(x)dx

p(x) + p(x)c(x)e−
R

= q(x),

luego c(x) =

q(x)e

R

p(x)dx

p(x)dx

= q(x)

dx + K

Algunas ecuaciones que no son de este tipo se pueden transformar en lineales; por ejemplo:
y +p(x)y = q(x)y n
que recibe el nombre de ecuaci´n diferencial de Bernoulli y que, si n = 0 es lineal y si n = 1 es de
o
variables separables. Si n no es ni 0 ni 1, podemos dividir ambos miembros por y n y nos queda:
y
y
+ p(x) n = q(x),
n
y
y

de donde

y
+ p(x)y 1−n = q(x)
yn

si hacemos el cambio z = y 1−n tenemos que
z = (1 − n)y −n y = (1 − n)

y
yn

por tanto

z
y
= n1−n
y

si sustituimos en la ultima de las expresiones anteriores obtenemos
´
z
+ p(x)z = q(x) y por tanto z + (1 − n)p(x)z = (1 − n)q(x)
1−n
que s´ es una ecuaci´n lineal.
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o
Ecuaciones lineales de orden n.- Una ecuaci´n diferencial de orden n es una ecuaci´n diferencial
o
o
en la que aparecen derivadas hasta el orden n del tipo
y (n) + p1 (x)y (n−1) + p2 (x)y (n−2) + pn (x)y =...