ecuaciones diferenciales

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SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATLAB
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de primer orden es una ecuación que puede escribirse en la
forma:
=

)

Donde es la variable independiente y es la variable que es una función de . Las siguientes
ecuaciones son ejemplos de EDO de primer orden[1]:
Ecuación 1:
Ecuación 2:
Ecuación 3:
Ecuación 4:
Ecuación 5:

(
((
(
(

)=3
)
0.131
) = 3.4444
) = 2.
)=3

05
)

0.0015

Observe que
se da como una función de x en la Ecuación 1;
es una función de
Ecuaciones 2 y 3, y es función tanto de como de en las Ecuaciones 4 y 5.

en las

). Calcular
Una solución a una Edo de primer orden es una función
) tal que ( )
la solución de una EDO implica integrar para obtener a partir de ; por tanto,las técnicas para
resolver ecuaciones diferenciales también se conocen como técnicas para integrar ecuaciones
diferenciales. La solución de una EDO generalmente es una familia de funciones. Por lo general se
requiere de una condición inicial o condición de frontera para especificar una solución. Las
soluciones analíticas de las EDO presentadas líneas arriba, se determinaron usando ciertascondiciones iniciales, y son:
Solución de la Ecuación 1:
Solución de la Ecuación 2:
Solución de la Ecuación 3:
Solución de la Ecuación 4:
Solución de la Ecuación 5:

Funciones ode en MATLAB

7.5
=4
= 0.022963

=4

0.020763
+ 1)

MATLAB posee dos funciones para calcular soluciones numéricas de EDOS: ode23 y ode45. A
continuación se describen sus argumentos:
[x,y] =ode23(‘nombre_funcion’, [a, b], inicial)
Devuelve un conjunto de coordenadas x,y que representan la función
) y se calculan
usando métodos de Runge-Kutta de segundo y tercer orden. El ‘nombre_funcion’ define una
función que devuelve valores de la ecuacion diferencial
) cuando recibe valores
de y . Los valores a y b especifican los extremos del intervalo en el cual deseamos evaluar
la función
). El valordado en inicial especifica el valor de la función en el extremo
izquierdo del intervalo [a, b].

[x,y] = ode45(‘nombre_funcion’, [a, b], inicial)
Devuelve un conjunto de coordenadas x,y que representan la función
) y se calculan
usando métodos de Runge-Kutta de cuarto y quinto orden. El ‘nombre_funcion’ define una
función que devuelve valores de la ecuación diferencial
) cuando recibe valoresde y . Los valores a y b especifican los extremos del intervalo en el cual deseamos evaluar

2

la función
). El valor dado en inicial especifica el valor de la función en el extremo
izquierdo del intervalo [a, b].
NOTA.- Las funciones ode23 y ode45 también pueden recibir argumentos adicionales. Se puede usar
un cuatro parámetro para especificar una tolerancia relacionada con el tamañode paso; las
tolerancias por omisión son 0.001 para ode23 y 0.000001 para ode45. Se puede usar un quinto
parámetro para solicitar que la función exhiba resultados intermedios (es decir, que realice un
rastreo); el valor por omisión de 0 indica que no se deben rastrear los resultados. Si usted decide
utilizar técnicas numéricas con argumentos opcionales, no olvide incluir comentarios en elprograma que definan dichos argumentos opcionales y su propósito en caso de usarse.
EJEMPLO
Vamos a usar ode23 para resolver las Ecuaciones diferenciales Ordinarias presentadas en la primera
página de este documento. Definimos cada ecuación en su respectivo archivo M tal como sigue:
% Ecuacion 1
function dy = g1(x,y)
% g1 evalua una EDO de primer orden
dy = 3*x.^2;

% Ecuacion 2
function dy= g2(x,y)
% g2 evalua una EDO de primer orden
dy = -0.131*y;

% Ecuacion 3
function dy = g3(x,y)
% g3 evalua una EDO de primer orden
dy = 3.4444E-5-0.0015*y;

% Ecuacion 4
function dy = g4(x,y)
% g4 evalua una EDO de primer orden
dy = 2*x.*cos(y).^2;

% Ecuacion 5
function dy = g5(x,y)
% g5 evalua una EDO de primer orden
dy = 3*y + exp(2*x);

% Archivo: SolucionesEDO.m
%...