Ecuaciones Diferenciales

APLICACIONES

* Uso de la transformada de Laplace para resolver un problema de valor inicial
* W Ecuación integral de Volterra n Ecuación integrodgerencial
* W Uso de la transformada deLaplace para resolver un problema de valor en la frontera

Como Ce { y(“)(r)}, n > 1, depende de y(r) y de sus n - 1 derivadas, evaluadas en t = 0, la
transformada de Laplace es lo ideal enproblemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales
lineales con coeficientes constantes. Este tipo de ecuación diferencial se puede reducir a una
ecuación algebraica en la función transformada, Y(s).Para comprenderlo, veamos el problema
de valor inicial

Y(O) = YO, y ’ ( O ) =y1> . .) y(qO) =y,-1,

endondeai,i=O, l,..., nyyo,yl,. .., y,-l son constantes. De acuerdo con la propiedaddelinealidad de la transformada de Laplace podemos escribirSegún el teorema 7.8, la ecuación (1) equivale a

a,[s”Y(s) - s”-‘y(O) - - * * - y’“-“(O)] + u,-@‘-~Y(~) - s”-*y(O) - - . . - y(“-*j(O)] + . - - +aoY(s) = G(s)

0 sea
[uns” + u,-ls”-’ + - - * + ao]Y(s) = u,[s”-lyo + * - * + ynq]
+ un-@-*yo + - . . + yn- + - . - + G(s), (2)
en donde Y(S) = (e{y(r)} y G(s) = e{g(t)}.

Despejamos Y(s) de(2) y llegamos a y(t) determinando la transformada inversa
y(f) = ce-’ {Y(s)}.

El procedimiento se describe en la figura 7.36. Obsérvese que este método incorpora las
condiciones iniciales dadasdirectamente en la solución; en consecuencia, no hay necesidad de
las operaciones separadas para hallar las constantes en la solución general de la ecuacion
diferencial.

Ecuacih diferencialtransformada en ecuación algebraica ‘-1

Resuelva
di&t -3y=e”,y(O)=l.

SOLUCIÓN

dada: Primero sacamos la transformada de ca& lado de la ecuación diferencial
ce s - 3Y{y} = ze{e2’}.

Acontinuación desarrollamos Ee{ u”M} = sY - y (0) = sY - 1, y Ce { e”} = l/(s - 2).
Entonces
sY - 1 - 3Y(S) = -Js- 2
despejamos Y(S) y descomponemos en fracciones parciales: así que 2

Y(s) = (s $$3) =...