Ecuaciones Diferenciales

Páginas: 6 (1494 palabras) Publicado: 24 de agosto de 2011
CAPÍTULO

4
Ecuaciones diferenciales de orden superior

4.1 Conceptos básicos
En este capítulo trataremos sobre el procedimiento que debemos llevar a cabo para obtener la solución general de la ED lineal no homogénea de orden n: an .x/y .n/ C an
1 .x/y .n 1/

C

C a2 .x/y 00 C a1 .x/y 0 C a0 .x/y D Q.x/:

Con este objetivo realizaremos un estudio detallado sobre la forma de resolvera la ED lineal no homogénea de segundo orden: a2 .x/y 00 C a1 .x/y 0 C a0 .x/y D Q.x/ y para esto trataremos primero con la ED lineal homogénea de segundo orden: a2 .x/y 00 C a1 .x/y 0 C a0 .x/y D 0: Así, una vez obtenida la solución general de la homogénea, resolveremos la no homogénea. Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden es de la forma: a2 .x/y 00 C a1 .x/y 0 C a0 .x/y D0: (4.1)

Es decir, los coeficientes de y así como de sus dos derivadas dependen sólo de x (o son constantes) y los exponentes de y y sus derivadas son 1. La parte izquierda de la ecuación diferencial es un operador L que asocia funciones a funciones, es decir, L es una función de funciones: L W F ! F; donde F es el conjunto de funciones reales de variable real que son derivables a cualquierorden. L se define como sigue: L.y/ D a2 .x/y 00 C a1 .x/y 0 C a0 .x/y:
1. canek.azc.uam.mx: 23/ 9/ 2010

1

2

Ecuaciones diferenciales Una solución de la ecuación diferencial (4.1) es una función f .x/ 2 F que cumple: LŒf .x/ D 0: Es decir, al sustituir f .x/ y sus derivadas correspondientes en la ecuación diferencial, se satisface a la ED. Resolver la ecuación diferencial (4.1) significaencontrar todas sus soluciones.

Ejemplo 4.1.1 La siguiente es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden: x 2 y 00 C 2xy 0 En este caso L.y/ D x 2 y 00 C 2xy 0 1. Si f .x/ D x, calcular LŒf .x/. 2. Si g.x/ D x 2 , calcular LŒg.x/. H 1. Si y D f .x/ D x, calcular L.x/. (Sabemos en este caso que y 0 D 1 & y 00 D 0.) L.y/ D LŒf .x/ D L.x/ D x 2.0/ C 2x.1/ 6x D 2x 6x D 4x: 6y: 6y D0:

Por consiguiente, la función y D x no es solución de la ecuación diferencial L.y/ D 0: 2. Si y D g.x/ D x 2 , calcular L.x 2 /. (Sabemos en este caso que y 0 D 2x & y 00 D 2.) L.y/ D LŒg.x/ D L.x 2 / D x 2 .2/ C 2x.2x/ 6x 2 D 2x 2 C 4x 2 6x 2 D 0:

Este último resultado nos dice que la función y D x 2 es solución de la ecuación diferencial L.y/ D 0: El operador L tiene las siguientespropiedades: Si y es solución de L.y/ D 0, entonces y D cy también es solución; donde c 2 R es una constante arbitraria. H Como y es solución de L.y/ D 0, entonces: L.y/ D a2 .x/y 00 C a1 .x/y 0 C a0 .x/y D 0: Aplicando el operador L.y/ a la función y D cy, se tiene que L.y/ D L.cy/ D a2 .x/.cy/ 00 C a1 .x/.cy/ 0 C a0 .x/.cy/ D D a2 .x/ cy 00 C a1 .x/ cy 0 C a0 .x/ cy D D c a2 .x/y 00 C a1 .x/y 0 C a0.x/y D
L.y/ D 0



D c L.y/ D c 0 D 0: Por lo tanto y D cy es solución.

4.1 Conceptos básicos Si y1 & y2 son soluciones de L.y/ D 0, entonces y1 C y2 también es solución. H Como y1 & y2 son soluciónes de L.y/ D 0, entonces:
00 0 L.y1 / D a2 .x/y1 C a1 .x/y1 C a0 .x/y1 D 0: 00 0 L.y2 / D a2 .x/y2 C a1 .x/y2 C a0 .x/y2 D 0:

3

Al usar en L.y/ la función y D y1 C y2 , se obtiene: L.y1C y2 / D a2 .x/.y1 C y2 / 00 C a1 .x/.y1 C y2 / 0 C a0 .x/.y1 C y2 / D 00 00 0 0 D a2 .x/Œy1 C y2  C a1 .x/Œy1 C y2  C a0 .x/Œy1 C y2  D 00 0 00 0 D Œa2 .x/y1 C a1 .x/y1 C a0 .x/y1  C Œa2 .x/y2 C a1 .x/y2 C a0 .x/y2  D

‘‘
L.y1 / D 0 L.y2 / D 0

D L.y1 / C L.y2 / D 0 C 0 D 0: Por lo tanto y1 C y2 es solución. Podemos resumir las propiedades anteriores como sigue: Si L.y/ D 0 y si c esuna constante, entonces L.cy/ D cL.y/ D 0. Si L.y1 / D 0 y si L.y2 / D 0, entonces L.y1 C y2 / D L.y1 / C L.y2 / D 0. Tomando en cuenta lo anterior se cumple lo siguiente: Si L.y1 / D 0 y si L.y2 / D 0, entonces L.c1 y1 C c2 y2 / D 0, donde c1 & c2 son constantes arbitrarias. H En efecto, si L.y1 / D 0 y si L.y2 / D 0, entonces: L.c1 y1 C c2 y2 / D L.c1 y1 / C L.c2 y2 / D c1L.y1 / C c2L.y2 / D c1...
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