ecuaciones diferenciales

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

Solucionario de
problemas de Ecuaciones
Diferenciales
2do Parcial (3ra versión)
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Resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares
Transformada de Laplace
Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de
Laplace
Resolución de sistemas de Ecuaciones diferenciales
Aplicaciones de lasecuaciones diferenciales de segundo orden
Series de Fourier
Ecuaciones en Derivadas Parciales

Roberto Cabrera V.
dcabrera@fiec.espol.edu.ec
06/02/2009

Este es un solucionario de problemas de Ecuaciones Diferenciales correspondiente a la Segunda
Evaluación, donde constan ejercicios tipo examen. Esta obra ha sido elaborada por Roberto Cabrera
y Christian de La Rosa, ex – estudiante de laESPOL, con el auspicio de la directiva A.E.F.I.E.C. de los
años 2006, 2007, 2008. Modificado y corregido dos veces por Roberto Cabrera.

Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Resumen de problemas resueltos de Ecuaciones Diferenciales
II Parcial
i.

ii.

Resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares:
Método de Frobenius
Transformada de Laplace:
TeoremasTransformada de Laplace de algunas funciones
Transformada inversa de Laplace

iii.

Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de
Laplace:
Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes
Ecuaciones diferenciales de coeficientes variables
Ecuaciones integro diferenciales

iv.

Resolución de sistemas de Ecuaciones diferenciales:
Método de Eliminación
Método de losoperadores diferenciales
Método de Laplace
Método de los valores y vectores propios.

v.

vi.

vii.
viii.

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden:
Aplicaciones de Sistema: Masa – Resorte – Amortiguador
Aplicaciones de circuitos eléctricos
Series de Fourier
Definición de la serie de Fourier
Serie de Fourier de una función par e impar
Convergencia de una serie deFourier
Extensiones pares o impares periódicas de una serie de Fourier
Problema de la ecuación del calor
Anexos:
Problemas propuestos
Tabla de transformadas de Laplace de ciertas funciones
Tabla de transformadas inversas de Laplace de ciertas funciones

-2Roberto Cabrera V.

Ecuaciones Diferenciales – II Parcial

Método de Frobenius
1. Determine la solución general de la ecuacióndiferencial:
, mediante series de potencias de x. Utilice la raíz de mayor valor de la ecuación
indicial asociada a la ecuación diferencial dada para establecer la primera solución, ésta como una
función elemental; y, luego utilice algún procedimiento conocido para definir la segunda solución
linealmente independiente e igualmente exprésela como una función elemental.
Asumiendo la soluciónalrededor del punto
, entonces
, por lo tanto
caso

, se tiene que verificar que clase de punto es, en este
es un punto singular.

Lugo se verifica si es singular regular.
i)

(existe)
(existe)

ii)

Los dos límites existen, por lo tanto es un punto singular regular.
La fórmula de la ecuación indicial indica:

, se obtiene que:
Las raíces de la ecuación indicial son:
Asumiendo lasolución como:

,y

.

Obteniendo la 1ra y 2da derivada:

Reemplazando y, y’,y’’ en la ecuación diferencial

se obtiene:

Introduciendo los coeficientes de cada sumatoria:

Se iguala las potencias de todas las sumatorias, en esta caso a
cambio de parámetro en alguna en la tercera sumatoria.

-3Roberto Cabrera V.

, haciendo un

Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
La nuevaecuación queda así:

Se iguala los subíndices de cada sumatoria al mayor de todas, en este caso a
desarrollan dos términos en la primera y segunda sumatoria:

. Luego se

Se agrupan los coeficientes de cada sumatoria en una sola sumatoria:

Igualmente los coeficientes de
Como

, se obtiene

, que es la misma ecuación indicial anterior.

si puede ser igual a cero.
En este caso...