Ecuaciones Diferenciales

Unidad 0. Métodos de integración
0.1
i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. Z Z Z Z Z Z Z Z

Integrales de funciones transcendentes
sin xdx = cos x + c

cos xdx = sin x + c tan xdx = ln jcos xj + c = ln jsec xj + c

cot xdx = ln jsin xj + c sec xdx = ln jsec x + tan xj csc xdx = ln jcsc x + cot xj

ex dx = ex + c ln xdx = x + x ln x + c 4; g(x) =

Example 1 Cálcular el área entre lascurvas f (x) = 5 sin x + 3ex x2 + 2 tan x
20

y

10

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

x

-10

el área comprendida entre curvas
1:Z 7 391

(5 sin x + 3ex

4

x2

2 tan x)dx = 3: 341 4

0:165 13

1

Example 2 Cálcular el área entre las curvas f (x) = 4 sin x 6 cos x (continua); g(x) = 3 ln x (punteada)

y

6 4 2 0 1 -2 2 3 4

x

5

el área comprendida entrecurvas
3:Z 9 566

(4 sin x

6 cos x

3 ln x)dx = 7: 423 8

0:970 21

0.2

Integración por cambio de variable

El método de cambio de variable consiste en transformar el integrando en una expresión analíticamente integrable Example 3 Integrar Z
2

(2x + 1)dx = 4 Z

1

Example 4 Integrar

sin 2xdx

haciendo u = 2x; du = 2dx Z 1 sin 2x(2dx) 2

= = =

Z 1 sin udu + c 2 1 ( cosu) + c 2 1 cos 2x + c 2

Example 5 Integrar

Z

1 4 cos( x 2

3)dx

2

haciendo u = 1 x 2 (4)(2)

Z

3; du = 1 dx 2 1 cos( x 2 1 3)( dx) 2 = = = 8

8 sin u + c 1 8 sin( x 3) + c 2

Z

cos udu

Example 6 Integrar

haciendo u =

2x + 3; du = 2x Z 1 e 2x+3 ( 2dx) 2

Z

e

2x+3

dx Z 1 eu du 2 1 u e +c 2 1 2x+3 e +c 2

= = =

Example 7 Integrar

haciendo u =5x + 1; du = 5x Z 1 p 5x + 1(5dx) 5

Z

p

5x + 1dx Z 1 p udu 5 2 3 u2 + c 15 3 2 (5x + 1) 2 + c 15

= = =

Example 8 Integrar

haciendo u = sin x; du = cos xdx Z Z sin3 x cos xdx = u3 du = = por lo tanto Z
2

Z

2

sin3 x cos xdx

0

1 4 u +c 4 1 sin4 x + c 4

sin3 x cos xdx = =

0

1 2 [ sin4 x]0 4 1 1 1 sin4 sin4 0 = 4 2 4 4 3

Example 9 Integrar

haciendo u =x2 + 1; du = 2xdx Z 3 p 2 x + 1(2xdx) 2

Z

p 3x x2 + 1dx = 3 2 Z p udu

= u2 + c 3 = (x2 + 1) 2 + c

3

Example 10 Integrar

haciendo u =

p

1 p x; du = 2 x 2 dx = 2dxx Z p Z dx 2 e x p = 2 eu du 2 x = 2eu + c p = 2e x + c

1

Z

e x p dx x

p

Example 11 Integrar

haciendo u = 6 2x3 ; du = 6x2 dx Z 2 1 (6 2x3 ) 5 ( 6x2 dx) 6

Z

1

x2 (6

2x3 ) 5 dx Z

20

= = =

u 5 du

2

5 7 u5 + c 7 7 5 (6 2x3 ) 5 + c 7

por lo tanto Z
1

x2 (6

2x3 ) 5 dx = = Z

2

[

0

7 5 (6 2x3 ) 5 ]1 0 42 0:633 53

Example 12 Integrar

3x cos x2 dx Z 3 cos udu 2 3 sin u + c 2 3 sin x2 + c 2

haciendo u = x2 ; du = 2xdx Z 3 cos x2 (2xdx) 2

= = =

4

Example 13 Integrar

haciendo u = 1 x; du = dx, y sabiendo que x2 = (1 Z Z p p 5 3( u 2u 2 + u 2 )du (1 u)2 udu = = = 2 3 u2 3 2 (1 3

Z

p x2 1 + xdx u)2

4 5 2 7 u2 + u2 + c 5 7 3 5 4 2 x) 2 (1 x) 2 + (1 5 7

x) 2 + c

7

Tarea a. Efectuar las siguientes integrales aplicando el cambio de variable adecuado Rp 1. 1 6xdx R p 3 2. 5 2xdx R p 3. 5x 4 x2 dx R 4. x2 (2x3 + 8)5 dx R p 5. 4x 3 (1 3x2 )2 dx R xdx 6. (x2 1)4 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. R R R R R R R (x2 + 4x +4)
1 4 5 2

dx

(x3 + 3) x5 dx sin 4 xdx 4x2 cos x3 dx x2 sec2 x3 dx cos x(1
5 sin xdx (3+cos x)3

sin x)5 dx

5

0.3

Integración por partes

El método de integración por partes consiste en reescribir una integral compleja en terminos de otra más simple empleando la fórmula Z Z udv = uv vdu Example 14 Integrar Z u dv aplicando Z Example 15 Integrar xex dx = xex = xex Z u dvaplicando Z xe dx = x e
x 2 x

xex dx

haciendo

= x; du = dx Z = ex dx; v = ex dx = ex Z

ex dx

ex + c

x2 ex dx

haciendo

= x2 ; du = 2xdx Z = ex dx; v = ex dx = ex Z

= x2 ex

ex (2xdx) Z 2 xex dx

utilizando el resultado del ejercicio anterior Z xex dx = x2 ex 2(xex = x2 ex Remark 16 Al integrar R

ex ) + c

2xex + 2ex + c

xn ex dx se corresponde siempre u dv = xn...