Ecuaciones Diferenciales
COORDINACIÓN DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA
ECUACIONES DIFERENCIALES
TEMA No. 4
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE ORDEN SUPERIOR
CON COEFICIENTES CONSTANTES
Profesores: Yajaira Tovar de Souto y Arnaldo Souto Tovar
I)
Demostrar que cada uno de los conjuntos de funciones son linealmente independientes:
1)
II)
e 2 x , e 2 x
2)
sen3 x, cos 3 x
e x , e x , e3x
ln x, x ln x, x 2 ln x
y C1e
y (C1 C 2 x)e 3 x
3)
y e x C1 cos 2 x C 2 sen 2 x
4)
y C1e 2 x C 2 xe 2 x C 3 x 2 e 2 x
5)
2x
C2e
d 2 y dy
R:
6y 0
dx 2 dx
d2y
dy
R:
6 9y 0
2
dx
dx
2
d y
dy
R:
2 5y 0
2
dx
dx
3
2
d y
d y
dy
R:
6 2 12 8 y 0
3
dx
dx
dx
2
d ydy
R:
3 2 y e5x
2
dx
dx
3 x
2)
y C1e x C 2 e 2 x
e5x
12
Escribir cada uno de los siguientes operadores como el producto de operadores de grados uno y dos:
1)
D 2D 12
R:
D 1D 2 1
D 2D 2D 2 2 D 4
D 2D 2D 1D 1
R:
D 2 D 12
R:
D 1D 2 D 1
D 3 4 D 2 5D 2
R:
D3 D2 D 1
4
3
3) D 2 D 8 D 16
4
2
4) D 5 D 4
2)
D 2D D
3
6) D 1
5)
IV)
4)
Determinar la E.D.O lineal con coeficientes constantes cuya solución general viene dada por:
1)
III)
3)
4
3
R:
R:
2
Determinar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:
1) y´´2 y´15 y 0
R:
y c C1e 3 x C 2 e 5 x
2)
y´´´ y´´2 y´ 0R:
y c C1 C 2 e 2 x C 3 e x
3)
d4y
d2y
2 2 0
dx 4
dx
R:
y c C1 C 2 x C3 cos 2 x C 4 sen 2 x
3
4) 8 y´´14 y´15 y 0
R:
5) y´´´3 y´´ y´3 y 0
R:
d4y
d2y
6)
2 2 y 0
dx 4
dx
R:
x
y c C1e 4 C 2 e
5
x
2
y c C1e x C 2 e x C 3 e 3 x
y c C1 C 2 x cos x C 3 C 4 x senx
7)y´´´ y 0
R:
x
x
3 2
3
y c C1e x e 2 C 2 cos
x e C 4 sen
2
2 x
d4y
d2y
8)
R:
y c C1 C 2 x cos 2 x C 3 C 4 x sen 2 x
8 2 16 y 0 :
dx 4
dx
d4y
9)
y0
dx 4
2
2
x
2
2 2 x
2
2
R: y c e 2 C1 cos(
x) C 2 sen(
x e
x) C 4 sen(
x)
C 3 cos(
2
2
2
2
V)
Determinarla solución de los problemas de valores iniciales:
1)
2)
3)
D2 y 2y 0
D
3
3
y 0 2, y´0
3 x 13
7
R:
y ( x) e 2 e x
2
5
5
; y 0 2, y´0 2 2 R: y ( x) 2 cos( 2 x) 2sen( 2 x )
2 D 2 y Dy 3 y 0 ;
D 2 4 D 4 y 0 ; y 0 0, y´0 2, y" 0 1
11 x 1 2 x 15 2 x
e e e
6
24
8
y 0 0, y´0 0,y´´0 0, y´´´0 1
1
R:
y ( x) 1 x x 2 e x
2
R:
4)
VI)
D
4
D3 y 0 ;
y ( x)
Determinar la solución general, y y c y p , de las siguientes ecuaciones diferenciales:
1) y´2 y x sen x
R:
y c C1e 2 x
yp
2)
d4y
d2y
2 2 y ex
dx 4
dx
:
R:
y c C1 C 2 x e x C 3 C 4 x e x
yp
3)
4)
d4y
d2y 8 2 16 y sen 2 x 1
dx 4
dx
R:
y´´ y e 2 x :
R:
y c C1 C 2 x cos 2 x C 3 C 4 x sen 2 x
yp
y c C1 cos x C 2 senx
yp
:
5)
y´´9 y
9x
e 3 x
R:
y c C1e 3 x C 2 e 3 x
yp
6)
7)
d4y d3y
x ex
dx 4 dx 3
y c C1 C 2 x C 3 x 2 C 4 e x
R:
yp
y´´´ y´´4 y´4 y e x sen 2 x 1 x 2 :
y c C1e x C 2 cos 2 x C 3 sen 2 x
R:
yp
8)
y´´´ y´´4 y´4 y cos 2 x e x x 2
y c C1e x C 2 cos 2 x C 3 sen2 x
R:
yp
9)
y´´´5 y´´8 y´4 y e 2 x e x 0
y c C1e x C 2 C 3 x e 2 x
R:
yp
10)
x
y´´2 y´2 y e x 0
8
y c C1 cos x C 2 senx e x
R:
yp
11)
d5y
d4y
d3y d2y
2 4 2 3 2 e x...
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