Ecuaciones Diferenciales

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TEMAS:
1) CONCEPTOS GENERALES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.
2) ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES
REDUCCION A VARIABLES SEPARABLES.
3) ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS
REDUCCION A HOMOGENEAS.
4) ECUACIONES DIFRENCIALES EXACTAS
METODO DE FACTOR INTEGRANTE.
5) ECUACIONES DIFRENCIALES LINEALES.
6) ECUACIONES DIFERENCIALES BERNOULI.




CONCEPTOSGENERALES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES:
Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o mas derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes.
Si la función desconocida depende de una sola variable, la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de mas de unavariable se llama parcial.

Orden: Se llama orden de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden, una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente.
Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma:

Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potenciadistinta de uno o cero
Grado: Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinomica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Solución particular: Si asignamos valores a algunas o todas estas constantes obtenemos lo que se conoce como una solución particular.
Solución general: Si la solución de una ecuacióndiferencial de orden tiene constantes diferentes, diremos que dicha solución es la solución general de una ecuación diferencial.


ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES:
Para resolver las ecuaciones diferenciales se tendrá que integrar y quizá la integración requiera técnica especial. Para esto es conveniente repasar apuntes de cálculo.
Se dice que una ecuación diferencial de la formady/dx = g(x) / h(y) es de variables separables y ordenar sus variables “y” con su respectiva dy y variables “x” con su dx e integrar ambas partes, lo cual nos queda así:

Cuando no puedan separarse las variables de una ecuación y no pueden agruparse en términos, en cada uno de los cuales estén las mismas variables, habrá que usar otros métodos para encontrar la solución.
PASOS PARA RESOLVER UNAECUACIÓN DIFERENCIAL DE VARIABLES SEPARABLES:
1) Factorizar el segundo miembro F(x,y) = f(x) * g(y) , si tal factorización no es posible, se concluye que la ED no es de variables separables.
2) Hacer algebra para poner variables diferentes en lados diferentes.

3) Integrar ambas partes. Integrando la expresión anterior con respecto a x se obtiene:

O simplemente:

4) Despejar y OpcionalDebido a que y representa la función incógnita a determinar, lo ideal es determinarla por completo, es decir tener como solución una expresión de la forma: y = Expresión en x.
Ejemplo:




REDUCCIÓN A VARIABLES SEPARABLES:
Se considera la forma = f (ax+by+c) con b≠0
1) Para este tipo de ejercicios se deberá contemplar la sustitución con z= ax+by+c
2) Se procede a obtener la derivada de lafunción z



3) De la ecuación diferencial original se deberá sustituir el valor de la diferencial de z. = f (ax+by+c)
Entonces:
4) Se procede a dar solución a la función resultante.
5) Escribir una vez resuelta la ecuación en términos de las variables involucradas.
Ejemplo:> REDUCCIÓN A HOMOGENEAS:
Los polinomios homogéneos son aquellos en los que todos los términos son del mismo grado.
La ecuación diferencial homogénea es la forma: donde M y N tienen la propiedad de que para toda t>0, la sustitución de x por tx y la de y por ty hace que M y N sean del mismo grado n.
Por ello este tipo de...