Ecuaciones diferenciales

Ecuación. Diferenciales de Bernoulli
Son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann. La ecuación de Bernoulli se utiliza para calcular la cantidad de fluido que pasa en un área dada en un determinado tiempo. Siendo su forma ordinaria:
Donde  y  son funciones continuas en un intervalo siendo esto:
Si α = 0 es lineal, ysi α = 1, de variables separadas. En otro caso, se hace el cambio de función y 1−α = z, con lo que la E. D. de Bernoulli se transforma en una lineal. Un segundo método de resolución es el siguiente: se descompone y(x) = u(x) v(x) y se sustituye en la E. D., se iguala a 0 el coeficiente de u (queda v′ + a(x)v = 0, que es de variables separadas), lo que nos lleva a determinar v, apareciendo ahorauna ecuación en u(x) de variables separadas.
Para resolver estas ecuaciones se transforman en lineales mediante el cambio:

Donde hay que calcular  para que sea lineal

Interesa que 

Ejemplo: (Anexo Nº1).
Ecuación. Diferenciales de Ricatti
Es una ecuación diferencial ordinaria desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizarla hidrodinámica.
Son de la forma:
O que es lo mismo
Este tipo de ecuaciones diferenciales solo se pueden resolver si se conoce alguna solución particular 
Si se conoce dicha solución, entonces se hace el cambio:

Sustituyendo:

Simplificando:

Se ha transformado en una ecuación de Bernoulli. Como el cambio de Ricatti a Bernoulli y de Bernoulli a lineal es automático, podemos hacerdirectamente el cambio:
Ejemplo: (Anexo Nº 2)
Ecuación diferencial de Clairaut
La ecuación diferencial de Clairaut, así llamada en honor a su inventor, el físico francés Alexis-Claude Clairaut, es una ecuación diferencial ordinaria de la forma:

El interés que presenta este tipo de ecuación se debe al hecho de que tiene como solución a una familia de rectas. Además, la envolvente, es decir, lacurva cuyas tangentes están dadas por la familia, también es solución, en este caso una solución singular, de la ecuación de Clairaut. Ésta fue una de las primeras ocasiones en la historia en que este tipo de solución (la solución singular) se puso de relieve.
Siendo la Solución Singular una función que verifica la ecuación, pero que no es un caso particular de la solución general.

Para resolverla ecuación, diferenciamos respecto a x, quedando:

Por tanto

Y así:
Ó

En el primer caso, C = dy/dx para cualquier constante arbitraria C. Sustituyéndolo en la ecuación de Clairaut, tenemos la familia de ecuaciones dadas por

Llamadas soluciones generales de la ecuación de Clairaut.
Donde la Solución General es Una solución de tipo genérico, expresada con una o másconstantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes esenciales. Una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc.
El otro caso,

Define sólo una solución y(x), llamada solución singular, cuyo gráfico es envolvente de las gráficas de las soluciones generales. Lasolución singular se representa normalmente usando notación paramétrica, como: (x(p), y(p)), donde p representa dy/dx.
Ejemplo:
Resolver:

Hacemos

Por tanto

Obteniendo la ecuación de Clairaut, cuya solución es

De la cual podemos obtener y integrando dos veces, así

Siendo D y E otras dos constantes cualquiera.
Solución:

Trayectorias Ortogonales
Dos familias uniparamétricas decurvas,
G1(x, y, c1) = 0, G2 (x, y, c2) = 0,
Se dicen que son trayectorias ortogonales, si todas las curvas de una familia cortan perpendicularmente a todas las curvas de la otra familia.
El método para calcular la familia de trayectorias ortogonales a la familia uniparamétrica G(x,y, c) = 0 consiste en encontrar, en primer lugar, la ecuación diferencial asociada a la familia...