Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales
UNIVERSIDAD YACAMBÚ
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS BÁSICOS

Recopilación: Ing° Nelis Lucena
Mayo de 2011

Ecuaciones Diferenciales
Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona a una función desconocida y una o
más derivadas (razones de cambio infinitesimales) de esta función desconocida con respecto a una
o más variablesindependientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación
diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial.
Nuestra atención se centrará sobre ecuaciones diferenciales ordinarias.
Una ecuación diferencial ordinaria entonces es aquella que tiene a y como variable
dependiente y a x como variable independiente y se puede expresarde la siguiente forma:
F ( x, y, y ' , y ' ' ,....., y ( n ) ) = 0 para algún entero positivo n .
Las ecuaciones diferenciales se clasifican en varias categorías, como ya vimos, según su
tipo en ordinarias y parciales, o según su orden o linealidad, como veremos.
El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de mayor orden que aparece
en la ecuación.
Por ejemplo:

dy
= 2xdx
y' = −

x
y

Son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, en estas ecuaciones es posible
despejar la razón de cambio e integrar con facilidad, otro ejemplo de ecuaciones diferenciales es

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden, llamada así por el orden de la derivada.
El grado de una ecuación diferencial es el mismo que el de la derivada de mayor orden que
enella aparece.
Ejercicio: Encuentra el grado "n" de las siguiente ecuaciones diferenciales

Elaborado por Ingº Nelis Lucena

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Una solución de una ecuación diferencial es una relación entre las variables, que define a
una de ellas como función de la otra y que satisface a la Ecuación Diferencial. Por ejemplo:

y = C1 x Cos ( x Lnx) + C 2 x Sen( x Lnx) + x Lnx, es una solución de la Ecuación
Diferencial x 2

d2y
dy
− x + 2 y = x Lnx
2
dx
dx

Veamos:
dy
= (C 2 − C1 ) Sen Lnx + (C 2 + C1 )Cos Lnx + Lnx + 1
dx

Sen Lnx
Cos Lnx 1
d2y
= −(C 2 + C1 )
+ (C 2 − C1 )
+
2
x
x
x
dx
Sustituyendo los valores en la ecuación diferencial original encontramos que la relación de
variables satisface a la Ecuación Diferencial
Problemaspropuestos
Verifica las soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) y 2 − 4 x = 0 es solución de x( y ' ) 2 − 1 = 0
b)

d 2 y 1 dy 2
−
+ = 0 es solución de y = C1 + 2 x + C 2 x 2
dx 2 x dx x

En estos ejemplos la solución en a) viene dada en forma implícita y en b) en forma explícita.
También se observa que la solución en b) tiene dos constantes arbitrarias C1 y C2. La definiciónprecisa de solución de una Ecuación Diferencial involucra el concepto de parámetros
independientes.
Solucionar, o como dicen algunos autores, integrar una Ecuación Diferencial significa:
Encontrar la solución general: Esta solución queda expresada con una o más constantes
arbitrarias. En caso de que la ecuación sea lineal de orden “n”, la solución general se logra
como combinación lineal delas “n” soluciones (tantas como el orden de la ecuación), por lo
tanto contiene “n” constantes arbitrarias.
Encontrar la solución particular: Esta solución se consigue a partir de la solución general, en
donde la constante arbitraria (o constantes arbitrarias) recibe un valor específico. Se hace
fijando cualquier punto P( x0 , y 0 ) , llamado condición inicial, valor inicial o de Cauchy, otambién cualquier otro punto P ( x, y ) , llamado condición de frontera, valor en la frontera o

Elaborado por Ingº Nelis Lucena

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de Dirichlet, por donde debe pasar la solución de la ecuación diferencial y donde existe un
único valor para las constantes arbitrarias.
Ejemplo.

y = C1 Cos x + C 2 Sen x Es la solución general de
particular si y = 2 y

d2y
+...