ecuaciones diferenciales

I. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

V.1 MEZCLAS: TANQUES

Como una aplicación de las ecuaciones lineales de primer orden consideré un tanque que tiene una solución (una mezcla de soluto y solvente) como una sal disuelta en agua. Hay un flujo tanto de entrada como de salida y se quiere calcular la cantidad x (t) de soluto que hay en el tanque en el tiempo t, enfunción de la cantidad x (0) =x0 al momento t = 0. Supóngase que la solución tiene una concentración de Ci gramos de soluto por litro cuando fluye hacía el tanque con una tasa constante de Gi litros por segundo, en tanto que la contenida en el tanque (que se mantiene bien mezclada mediante agitación) fluye hacia afuera a una tasa constante de G0 litros por segundo.

Para establecer una ecuacióndiferencial para x (t), se estima el cambio x en x durante un breve intervalo (t +t ). La cantidad de soluto que fluye hacia el tanque durante t segundos es de GiCit gramos. Para comprobarlo, obsérvese como la cancelación de dimensiones verifica el cálculo:

(Gi litros/segundo) (Ci gramos/litro) (t segundos) produce una cantidad medida en gramos. La cantidad de soluto que fluye hacia fueradel tanque durante el mismo intervalo de tiempo depende de la concentración C0 (t) en el tanque al instante t. Pero C0 (t) = x (t)/v (t) en donde V(t) denota el volumen (no constante a menos que Gi=G0) de la solución en el tanque al instante t.
Entonces
x = {gramos que ingresan} – {gramos que salen}

x = GiCit – G0C0t

Luego dividiendo entre t

x/t = GiCi – G0C0

Por último,tomando el límite cuando t 0 se obtiene la ecuación diferencial


En donde Gi, Ci y G0 son constantes y C0 indica la concentración variable C0 (t) = x (t)/v (t) del soluto en el tanque al tiempo t. Así la cantidad x (t) de soluto en el tanque satisface la ED


De soluto en el tanque satisface la ecuación diferencial
Si V0 = V(0), enfonces V(t) = V0 + (Gi – G0)t




Co= concentración desalida
go= gasto de salida
Ci= concentración de entrada
gi= gasto de entrada
[gramos que entran] – [gramos que salen]








Ejemplos 6.1
1) Se disuelven inicialmente 50 lb de sal en un gran tanque que contiene 200 galones de agua. Se bombea salmuera al tanque a razón de 3 gal/min; y luego, la soluciónadecuadamente mezclada se bombea fuera del tanque también a razón de 3 gal/min. Si la concentración de la solución que entra es de 2 lb/gal, determine la cantidad de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. ¿Cuánta sal hay después de 50 minutos? ¿Cuánta después de un largo tiempo?




2) El aire de un cuarto de (50 x 20 x 80) ft3 contiene 0.2% de CO2, comenzando en t=0 el aire del exterior,contiene 0.05% de CO2 y entra al cuarto ¿Cuántos ft3 de este aire exterior deberán ser admitidos por minuto a fin de que el aire en el cuarto contenga 0.1% de CO2 después de 30 minutos?
Datos:
(50 x 20 x 80) ft3
(0.2%) de CO2  aire del cuarto
t = 0
(0.05%) de CO2  aire del exterior

= 2 x 10-3 CO2 del cuarto
= 5 x 10-4  aire del exterior
=1 x 10-3  ? ft3 / min de aire



R1= g1c1
R1= (5 x10-4 ft3 CO2/ft3) (g1 ft3/min ) = 5 x 10-4 g1 ft3/min

R2= gox = 1.25 x 10 -4 x V aire
8000ft3 + (gi – go) t
Plantear la ecuación:
dx/dt = 5 x 10-4 V aire – 1.25 x 10-4 V aire x
dx/dt + 1.25 x 10-4 V aire x = 5 x 10-4 V aire

μ=∫ e (1.25 x 10-4)Vdt

μ= e 1.25x 10-4 Vt

e1.25 x 10-4 Vt x = ∫( e 1.25 x 10-4 Vt) (5 x10-4 V) dt

Integrando:
e1.25* 10-4 Vt x = 5 x10-4 V e 1.25 x 10-4 Vt + c
1.25x10-4
e1.25 x 10-4 Vt x = 4 e 1.25 x 10-4 Vt + c

Despejando x
x = 4 + c e 1.25 x 10-4 Vt
x (t) = 4 + c e 1.25 x 10-4 Vt

En un tiempo t= 0, tenemos la siguiente cantidad de CO2 en el cuarto:


16=...