ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES
 
       Las ecuaciones diferenciales (E.D.) son expresiones matemáticas que establecen relaciones entre variables independientes, dependientes y las derivadas de ésta última. Las E.D. tienen diversas clasificaciones, una de ellas indica que este tipo de ecuaciones pueden ser: Ordinarias y Parciales
 
De acuerdo al contenido programático, serán analizadas solo lasecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O), las cuales se caracterizan por poseer en su estructura, derivadas ordinarias de la variable dependiente.
 
Resolver una E.D.O., consiste en aplicar un conjunto de técnicas que permitan obtener, a partir de una ecuación diferencial, una expresión matemática que no presente derivadas; sino que exhiba una relación entre las variables mencionadas. Existenmuchos métodos para resolver E.D.O, sin embargo, en la presente obra se desarrollarán solo los siguientes
1.    Ecuaciones con Variables Separables: Son ecuaciones de la forma:

        Las cuales se puede resolver así:
Ø     Separar las variables. Esto significa que los términos relativos a la variable dependiente queden a un lado de la igualdad y en el otro los que representan a la otravariable. Por tanto:

Ø     Integrar ambos miembros de la igualdad aplicando los métodos de integración.
2.    Ecuaciones Homogéneas: Son ecuaciones de la forma:

 
Las cuales se puede resolver mediante el siguiente conjunto de pasos, que será llamado de aquí en adelante ALGORITMO HOMOGÉNEO.
Ø     Aplicar el criterio de homogeneidad. Para ello basta con:                                                                       i.     Denotar el coeficiente de dx con M(x,y) y el coeficiente de dycon N(x,y). 
                                                                     ii.     Verificar si son homogéneas, aplicando las siguientes igualdades:
1.   M(kx, ky)= knM(x,y)
2.   N(kx, ky)= knN(x,y)
Nota1: Para 1 y 2, los exponentes deben ser iguales  y tanto M(x,y)como N(x,y), no quedan afectados del factor k.
Ø     Hacer elsiguiente cambio de variable:
·       y=vx (I)
Ø     Derivar (I), obteniéndose:
·       dy=vdx+xdv (II)
Ø     Sustituir las expresiones (I) y (II) en la ecuación diferencial dada.
Ø     Aplicar propiedad distributiva y agrupar términos semejantes.
Ø     Aplicar el método de Variables Separables
3.    Ecuaciones Exactas: Son ecuaciones de la forma:

Donde M(x,y) y N(x,y), son funcionescontinuas que verifican la siguiente igualdad:   =       (III)
Estas ecuaciones pueden resolverse mediante el siguiente conjunto de pasos, que será llamado de aquí en adelante ALGORITMO EXACTO.
·       Denotar el coeficiente de dx con M(x,y) y el coeficiente de dycon N(x,y). 
·       Verificar que se cumple (III)
·       Hallar una función auxiliar F. Para ello basta con integrar aM(x,y),conrespecto a x. Así:
o      
·       Derivar parcialmente a F e igualar este resultado con N(x,y), es decir:     N(x,y)
 
Antes de presentar los ejemplos correspondientes a la solución de E.D.O., es necesario mostrar como se usa el criterio de homogeneidad y como interpretar la Nota1. Para ello:
 
v    Determine si cada una de las funciones que se presentan a continuación, es o no homogénea.Indique su grado de homogeneidad.
·       Solución: El grado de homogeneidad viene dado por el exponente de la letra k. Para determinar si una función es o no homogénea, se debe aplicar el criterio de homogeneidad, dado por:
Una función F(x, y) es Homogénea si y solo si:  F(kx, ky)=knF(x,y)
·       Desarrollo:
                 i.                                                
F(kx, ky) 
 F(kx, ky) 
 
F(kx, ky) 
Obsérvese que la expresión entre paréntesis representa a F(x,y),  cumpliéndose la igualdad planteada en el criterio, por tanto, la función dada es Homogénea y de grado 2.
               ii.                                                        
 
F(kx, ky) 
 
F(kx, ky) 
 
F(kx, ky) 
 
F(kx, ky)       grado 3
 
Obsérvese...