Ecuaciones Diferenciales

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CALKINÍ EN EL ESTADO DE CAMPECHE









INGENIERIA INDUSTRIAL

SEXTO SEMESTRE


MATEMÁTICAS V (ACM-0407)

ING. JULIO CÉSAR PECH SALAZAR


Subtema 6.1

DEFINICIONES (ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL, ORDEN Y LINEALIDAD)







Material de apoyo
MATEMÁTICAS V

INGENIERÍA INDUSTRIAL


Clave de la asignatura: ACM-0407

|UNIDAD|NOMBRE |TEMAS Y SUBTEMAS |
|VI |Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales |6.1 Definiciones (ecuación diferencial parcial, orden y linealidad) |


6.1 Definiciones (ecuación diferencial parcial, orden y linealidad).

Una ecuación diferencial esaquella ecuación que contiene diferenciales o derivadas de una o más variables.
 Una ecuación Diferencial Ordinaria. Es aquella ecuación que contiene solo derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.
Ejemplos:
 
El orden  de una ecuación diferencial esta determinado por el orden de la derivada más grande dentro de la ecuacióndiferencial.
 

Ecuaciones Diferenciales Parcial. Son aquellas ecuaciones que contienen derivadas parciales dependientes de dos o más variables independientes. Ejemplo:
 

 



Una ecuación ordinaria o parcial se puede clasificar  según el orden, es decir, de acuerdo a la derivada más alta en la ecuación.
 Ejemplos:
 
[pic]
Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.
 Otro ejemplopero en derivadas parciales es el que a continuación se presenta, se trata de una ecuación diferencial parcial de tercer orden
[pic]
 En general, una ecuación diferencial ordinaria de orden n se representa como:
 

 A continuación se abordara otro clasificación, la cual corresponde a la linealidad o no linealidad.
 Recordemos que una ecuación se dice lineal si
 
[pic]
Donde los ai notodos son cero.
En el caso de la ecuación diferencial la linealidad es caracterizada por la forma
 
Donde [pic] es una función de x no cero.
 Se observan dos características en dicha forma: la variable dependiente, en este caso la variable y, junto todas sus derivadas son de primer grado, es decir, la potencia en y es 1; por otro lado, cada coeficiente depende solo de la variable dependiente dex.
 
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/diferential/definiciones_basicas.htm

  ¿ Qué es una ecuación diferencial ?
 

Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuacióndiferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial .
La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la función desconocida. Un ejemplo de tal tipo deecuaciones es:
[pic]





Esta ecuación es satisfecha por cualquier función en una variable que sea derivable. Otro ejemplo es
[pic]

Es claro que lo que está detrás de esta ecuación es la fórmula notable [pic]; por lo que la ecuación es satisfecha por cualquier función derivable.
Nuestra atención se centrará sobre ecuaciones diferenciales ordinarias . Una ecuación diferencial ordinaria esaquella que tiene a [pic]como variable dependiente y a [pic]como variable independiente se acostumbra expresar en la forma
[pic]


para algún entero positivo [pic]. Si podemos despejar de esta ecuación la derivada más alta, obtenemos una o más ecuaciones de orden [pic]de la forma

[pic]


 
Ejemplo
La ecuación [pic]es equivalente a las dos ecuaciones diferenciales

[pic]


Las...