Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES
 
       Las ecuaciones diferenciales son expresiones matemáticas que establecen relaciones entre variables independientes, dependientes y las derivadas de ésta última. Las ecuaciones diferenciales tienen diversas clasificaciones, una de ellas indica que este tipo de ecuaciones pueden ser: Ordinarias y Parciales
  Las ecuaciones diferenciales ordinarias secaracterizan por poseer en su estructura, derivadas ordinarias de la variable dependiente.
  Resolver una ecuación diferencial, consiste en aplicar un conjunto de técnicas que permitan obtener, a partir de una ecuación diferencial, una expresión matemática que no presente derivadas; sino que exhiba una relación entre las variables mencionadas. Existen muchos métodos para resolver ecuacionesdiferenciales:

1.    Ecuaciones con Variables Separables: Son ecuaciones de la forma:

        Las cuales se puede resolver así:
* Separar las variables. Esto significa que los términos relativos a la variable dependiente queden a un lado de la igualdad y en el otro los que representan a la otra variable. Por tanto:

* Integrar ambos miembros de la igualdad aplicando los métodos deintegración.

2. Ecuaciones Homogéneas: Son ecuaciones de la forma:

  Las cuales se puede resolver mediante el siguiente conjunto de pasos, que será llamado de aquí en adelante algoritmo homogéneo.
* Aplicar el criterio de homogeneidad. Para ello basta con:
                     i.     Denotar el coeficiente de dx con M(x,y) y el coeficiente de dycon N(x,y).                      ii.     Verificar si son homogéneas, aplicando las siguientes igualdades:
1.   M(kx, ky)= knM(x,y)
2.   N(kx, ky)= knN(x,y)
Para 1 y 2, los exponentes deben ser iguales  y tanto M(x,y)como N(x,y), no quedan afectados del factor k.
* Hacer el siguiente cambio de variable:
     y=vx (I)
* Derivar (I), obteniéndose:
dy=vdx+xdv (II)
* Sustituir las expresiones (I) y (II) en la ecuación diferencial dada.

*Aplicar propiedad distributiva y agrupar términos semejantes.

*  Aplicar el método de Variables Separables

Criterio de homogeneidad: 
* Determine si cada una de las funciones que se presentan a continuación, es o no homogénea. Indique su grado de homogeneidad.

* Solución: El grado de homogeneidad viene dado por el exponente de la letra k. Para determinar si una función es o nohomogénea, se debe aplicar el criterio de homogeneidad, dado por: Una función F(x, y) es Homogénea si y solo si:  F(kx, ky)=knF(x,y)

* Desarrollo:
                 i.                                                
F(kx, ky) 
 
F(kx, ky) 
 
F(kx, ky) Grado 2
Obsérvese que la expresión entre paréntesis representa a F(x,y),  cumpliéndose la igualdad planteada en el criterio, portanto, la función dada es Homogénea y de grado 2.
               ii.                                                        
 
F(kx, ky) 
 
F(kx, ky) 
 
F(kx, ky) 
 
F(kx, ky)       Grado 3
 
Obsérvese que la expresión entre paréntesis representa a F(x,y),  cumpliéndose la igualdad planteada en el criterio, por tanto, la función dada es Homogénea y de grado 3.
             iii.                                                            
 F(kx, ky) 
 
F(kx, ky) 
 
F(kx, ky) 
 
F(kx, ky) 
 
 
F(kx, ky) 
 F(kx, ky) 
 F(kx, ky) 
 
Obsérvese que la expresión entre paréntesis no representa a  F(x,y),  ya que se está viendo afectado de un factor k2 , es decir, k no tiene un exponente único. Así, la igualdad planteada en el criterio no se cumple y por tanto, lafunción dada no es homogénea.
 
3. Ecuación diferencial exacta:

En donde las derivadas parciales de las funciones M y N:  y  son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función F(x,y)=0 tal que

Donde  y 
Dado que F(x,y) es una función diferenciable entonces las derivadas mixtas deben ser iguales y esta es la condición .
Método de resolución....