Ecuaciones Diferenciales

´ Universidad Tecnica Federico Santa Mar´ ıa ´tica Departamento de Matema Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

1.

Introducci´n o

Definici´n 1.1 Una ecuaci´n diferencial ordinaria (EDO) es una relaci´n del siguiente tipo o o o F x, y, y ′(x), y ′′(x), · · · , y (n) (x) = 0, donde la inc´gnita y = y(x) es una funci´n de la variable independiente x. o o La funci´n F establece una relaci´nentre las derivadas de la inc´gnita y. El adjetivo ordinaria o o o hace referencia a que s´lo se deriva con respecto a una variable. o Definici´n 1.2 El orden de una ecuaci´n diferencial es el n´ mero que indica las veces que o o u aparece derivada la variable dependiente y con respecto a la variable independiente x. Por ejemplo, mayor orden. Por ejemplo, xy ′′ + cos(x2 + y 3 ) = x2 − 2x3 y, es deorden 2 y de grado 1. Definici´n 1.4 La ecuaci´n 1 es lineal en la variable y si ella se puede escribir de la forma: o o an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = q(x), (2) y ′′ + sen(x + y) = x2 − 2xy, es de orden 2. Definici´n 1.3 El grado de una EDO es la potencia a la cual est´ elevada la derivada de o a (1)

estos coeficientes dependen expl´ ıcitamente de la variableindependiente, se dice que la EDO es de coeficientes variables. Si no, se dice que la EDO es de coeficientes constantes. Por ejemplo, la ecuaci´n o cos(x)y ′′ + x2 y ′(x) + 2xy = tan x,

Donde las funciones ai (x) ∈ R, ∀i = 1, . . . , n son llamados los coeficientes de la EDO. Si

es lineal, de segundo orden, de primer grado y con coeficientes variables. Mientras que la ecuaci´n o 2y ′′′ + 3y ′′ + y ′ + 5y= ex , es lineal, de tercer orden, primer grado y con coeficientes constantes. Una EDO no lineal, como su nombre lo indica, es una ecuaci´n que no es lineal(ya que tiene o una gran cantidad de formas distintas). Por ejemplo, la ecuaci´n o y(2 + (y ′)3 ) = 1, es no lineal, de orden uno y grado tres.

2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

2.

Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenEn esta secci´n estudiaremos algunas t´cnicas que nos permitir´n determinar soluciones de o e a

una gran cantidad de EDO.

2.1.

Integraci´n Directa o

El problema tipo es y ′ = f (x). obtener soluciones dadas por y(x) = f (x) dx + C, (4) (3) Si se tiene que f es integrable, podemos usar el Teorema Fundamental del C´lculo (TFC) para a

Esta es una soluci´n general de la ecuaci´n 3incluyendo la constante arbitraria C ∈ R. El valor o o de C se puede determinar mediante una condici´n inicial. o Definici´n 2.1 Una condici´n inicial es un punto cualquiera (x0 , y0 ) por donde pasa la o o soluci´n de la EDO, la que permite calcular el valor de C cuando x = x0 e y = y0 . o Teorema 2.1 Todo Ejemplo 2.1 las soluciones de la ecuaci´n y ′ = cos x son o y= cos x dx = sen x + C, C ∈ R.Supongamos ahora que queremos encontrar la soluci´n de 3 definida sobre un intervalo I y o que adem´s pase por un punto (x0 , y0 ) dado. Esto es, queremos resolver el siguiente problema a con una condici´n inicial : o y′ y(x0 ) = y0 . Si integramos lo anterior entre x0 y x ∈ I, se obtiene:
x x

= f (x), ∀x ∈ I

y ′ (z)dz =
x0 x0

f (z)dz,
x

usando el TFC sigue que y(x) = y(x0 ) +

f(z)dz.
x0

(5)

Comparando 4 con 5 se deduce que la constante arbitraria en 4 queda determinada en forma unica como C = y(x0 ). ´
2

2.2. VARIABLES SEPARABLES

2.2.

Variables Separables

Definici´n 2.2 Estas EDO’s se escriben como o y ′ = f (x)g(y). (6)

Note que si en alg´ n punto y0 ocurre que g(y0) = 0, entonces la funci´n constante y(x) = y0 u o es soluci´n de 6. En aquellospuntos donde g(y) = 0 tenemos que o y′ = f (x). g(y) Integrando y gracias al cambio de variable y = y(x): 1 dy dy dx = (y = y(x) ⇒ dy = dx) g(y) dx dx dy = f (x) dx + C, g(y) expl´ ıcita para la soluci´n y(x) desde 7. o Ejemplo 2.2 y ′ = xy. En este caso, f (x) = x y g(y) = y. Note que y(x) = 0 es una soluci´n. Si y = 0, entonces o dy = y De esta manera x + C.

(7)

donde C ∈ R es una constante....