ecuaciones diferenciales

Instituto Politécnico Nacional
Unidad Profesional Interdisciplinaria de
Ingeniería y Ciencias Sociales
Academia de matemáticas
Ecuaciones diferenciales exactas
La expresión M(x, y)dx + N(x, y)dy, se considera exacta en la región R del plano xy, si es el resultado de una
función F(x, y) = c
M N
son funciones continuas de “x” y “y” entonces una condición necesaria y suficiente
y
x   y
para que: M dx  N dy  0
Además si M, N, 

Resuelve las siguientes ecuaciones exactas:
1.

( x  3y ) dx  (3 x  y ) dy  0

 

M( x, y ) dx  N( x, y ) dy  0

  

Se verifica que la ecuación es exacta derivando parcialmente, “x” y “y”:


M
( x  3y )  3       ;
y
y





    x N  x (3x  y )  3
 

Una vez que se comprueba que la ecuación es exacta,entonces la solución tiene la forma F = c  

F  M  x  3y
 
x

F  N  3x  y
y
 
De la ecuación vamos a integrar con respecto a “x”, para determinar la función F (que es la solución) 
x2
F  ( x  3y )dx 
 3xy  G( y )
2
 
Donde la función arbitraria G(y) es la “constante de integración”, entonces:


F
M( x, y ) dx  G' ( y )  N( x, y )
y
y
 







 x2

 3 xy  G( y ) 
F

y
y  2

 

F  3x  G' ( y )
y
 


F , se igualan y se obtiene que:
y
 
3x  y  3x  G' ( y )
 
Entonces se puede afirmar que G' ( y )  y , por consiguiente se integra parcialmente con respecto a “y”
Las expresiones





G( y )  G' ( y ) dy  y dy 

y2
2  

Métodos matemáticos de la ingeniería 

1 

Finalmente lasolución de la ecuación es

x2
 3xy  G( y )  c , entonces:
 
2

x2
y2
 3xy 
c
2
2
 
x 2  6 xy  y 2  c

 

Veamos otro camino para resolver la misma ecuación exacta:

( x  3y ) dx  (3 x  y ) dy  0   

  M( x, y ) dx  N( x, y ) dy  0

Se verifica que la ecuación es exacta derivando parcialmente, “x” y “y”:


M
( x  3y )  3       ;
y
y





   x N  x (3x  y )  3
 

Una vez que se comprueba que la ecuación es exacta, entonces la solución tiene la forma F = c  

F  M  x  3y
 
x

F  N  3x  y
y
 
De la ecuación vamos a integrar con respecto a “y”, para determinar la función F (que es la solución) 
y2
F  (3 x  y )dy  3xy 
 K( x )
2
 
Donde la función arbitraria K(x) es la “constante de integración”,entonces:


F
N( x, y ) dx  K' ( x )  M( x, y )
x
x
 


 
y2
 3 xy 
F
 K( x ) 

x
x 
2

 

F  3y  K' ( x )
x
 






F , se igualan y se obtiene que:
x
 
x  3y  3y  K' ( x )
 
Entonces se puede afirmar que K' ( x )  x , por consiguiente se integra parcialmente con respecto a “x”
Las expresiones





K( x )  K' ( x ) dx  x dx

x2
2  

Finalmente la solución de la ecuación es 3 xy 

y2
 K( x )  c , entonces: 
2

y2 x2

c
2
2
 
x 2  6 xy  y 2  c

3xy 

 

Prof: Miguel Cerón Villegas 

Ésta misma ecuación es homogénea y se puede resolver de la siguiente forma:
 

 

( x  3y ) dx  (3 x  y ) dy  0
Se realiza un cambio de variable y  u  x y se deriva:

dy  udx  xdu
Sesustituyen los cambios en la ecuación original y se desarrolla:
( x  3u  x ) dx  (3x  u  x )(u dx  x du)  0

 

x dx  3u  x dx  3u  x dx  3 x 2 du  u 2  x dx  u  x 2 du  0

 

x dx  6u  x dx  u 2  x dx  3 x 2 du  u  x 2 du  0

 

( x  6u  x  u 2  x ) dx  (3 x 2  u  x 2 ) du  0

 

x(1  6u  u 2 ) dx  x 2 (3  u) du  0

x(1  6u  u 2 ) dx

x 2(3  u) du



 

( x 2 )(1  6u  u 2 ) ( x 2 )(1  6u  u 2 )
dx (3  u) du

0
x u 2  6u  1
 
dx
(3  u) du

0
x
u 2  6u  1
 
1
2
ln x  ln(u  6u  1)  c
2
 



0

 



ln x  ln (u 2  6u  1)  c

 
Nuevamente se efectúa el cambio de variables por las originales
2

y
y
ln x  ln    6   1  c
x
x
 
 
 
ln x ...