Ecuaciones diferenciales

Ecuación Diferencial.
En general una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una función desconocida y una o más de sus derivadas. El orden de una ecuación diferencial, es de la derivada superior que aparezca en la ecuación. Asi las ecuaciones 1 y 2 son de primer orden y la ecuación 3 es de segundo. En las tres ecuaciones, la variable independiente se llama t y representa el tiempo,pero en general la variable independiente no tiene que representar el tiempo.
Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto ados o más variables.

































Ecuación diferencial

Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial sellama ordinaria , por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial .
La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuacioneses:



Esta ecuación es satisfecha por cualquier función en una variable que sea derivable. Otro ejemplo es



Es claro que lo que está detrás de esta ecuación es la fórmula notable; por lo que la ecuación es satisfecha por cualquier función derivable.







Ecuaciones diferenciales ordinarias:
Una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es la que contiene unafunción desconocida de una variable independiente y relaciona con sus derivadas:
una sola variable independiente (a diferencia de las ecuaciones diferenciales parciales que involucran derivadas parciales de varias variables).
Una o más de sus derivadas respecto de tal variable.
El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de más alto orden que aparece de manera no trivial enla ecuación 
De nuevo, la frase de manera no trivial tiene el fin de evitar situaciones como la siguiente cuyo orden es uno y no tres, como podría pensarse.



Una ecuación diferencial ordinaria de orden  es lineal  si se puede escribir de la forma

(1.5)
donde los coeficientes  para  son funciones reales, con .Una ecuación diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es nolineal. 
Algunas veces decimos que la ecuación 1.5 es lineal con coeficientes constantes si las funciones ak(x)  son constantes para toda , en caso contrario, decimos que es con coeficientes variables. Por otro lado, si la función g(x)  es nula decimos que la ecuación diferencial ordinaria lineal es homogénea y en caso contrario no homogénea. Todos estos tipo se ecuaciones diferenciales seránestudiados posteriormente con más detalle.






ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Es homogénea si no contiene términos que dependen únicamente de su variable independiente, en caso contrario es No Homogénea.
Ejemplos:














ECUACIONES EXACTAS
Para que la ecuación diferencial sea exacta debe cumplir la condición




Ecuaciones Diferenciales En Derivadas Parciales
Con eluso de las EDO's para resolver problemas aplicados estamos simplificando mucho el modelo de la realidad física que conduce a tales problemas. Todo ello se debe a que en las formulas matemáticas aparece una sola variable independiente sobre la que dependen todas las otras variables pertinentes.
Sin lugar a dudas utilizar este tipo de ecuaciones diferenciales es útil aunque limita las clases de...