Ecuaciones diferenciales

Análisis Matemático II – Apoyo Teórico
UNIDAD I. Ecuaciones diferenciales ordinarias
1.A. Ecuaciones diferenciales. Introducción. Ecuaciones diferenciales de
primer orden. i
La física y la ingeniería son disciplinas que se basan en la experimentación para
elaborar teorías que explican los fenómenos que ocurren en la realidad. Muy
frecuentemente cuando se quiere estudiar una magnitud laexperiencia no la revela
directamente, sino que da su variación con respecto a otra magnitud (por ejemplo el
tiempo). Por eso, las ecuaciones a las que se recurre para el análisis de la magnitud
contienen derivadas de la misma con respecto a la otra variable. A este tipo de
ecuaciones se las llama ecuaciones diferenciales.
DEFINICIÓN
Una ecuación diferencial (ED)
funciones y sus derivadas.es una ecuación o más en la que aparecen

‫ܨ‬൫‫ ݕ ,ݕ ,ݔ‬ᇱ , ‫ ݕ‬ᇱᇱ , … , ‫ ݕ‬ሺ௠ሻ ൯ ൌ 0

Resolver una ED implica encontrar las funciones que la satisfacen.
Hay una serie de conceptos que permiten identificar y clasificar a las ED según sus
características: orden, grado, linealidad, homogeneidad, ED ordinaria, ED parcial.
CARACTERÍSTICAS DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
•

El orden de una ED esel orden de la derivada más alta que aparece en ella.

•

El grado de una ED es el exponente natural al que está elevado la derivada de
mayor orden.

•

Si en la ED interviene una única variable independiente, se la denomina ED
ordinaria. Si aparecen dos o más variables independientes, aparecen derivadas
parciales de la función desconocida en distintas variables, y la ecuación es una EDen derivadas parciales.
‫ ݕ‬ᇱ ൌ 2‫ ݔ‬൅ ݁ ௫
ื
‫ܽ݅ݎܽ݊݅݀ݎ݋ ܦܧ‬
߲‫ݖ߲ ݖ‬
൅
ൌ 2‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬ଶ
ื
‫ݏ݈݁ܽ݅ܿݎܽ݌ ݏܽ݀ܽݒ݅ݎ݁݀ ݊݁ ܦܧ‬
߲‫ݕ߲ ݔ‬
Las ED ordinarias se clasifican en EDO de primer orden y EDO de orden superior.

Universidad Nacional de Cuyo
Facultad de Ingeniería

•

Análisis Matemático II

Una ED es lineal si es de la forma(o puede expresarse como):

ܽ௡ ሺ‫ݔ‬ሻ‫ ݕ‬ሺ௡ሻ ൅ ܽ௡ିଵ ሺ‫ݔ‬ሻ‫ݕ‬ሺ௡ିଵሻ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܽଵ ሺ‫ݔ‬ሻ‫ ݕ‬ᇱ ൅ ܽ଴ ሺ‫ݔ‬ሻ‫ ݕ‬ൌ ‫ݍ‬ሺ‫ݔ‬ሻ

Por lo tanto, cumple con las siguientes condiciones:

Los exponentes a los que están elevadas la variable y sus derivadas son
únicamente 1 ó 0.
No hay productos de la variable con sus derivadas o de las derivadas
entre sí.
No aparecen funciones trascendentes de la variable ni de sus derivadas.

•

Una función ݂ ൌ ݂ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ eshomogénea de grado ࢔ si cumple con que
݂ሺߣ‫ݕߣ ,ݔ‬ሻ ൌ ߣ௡ ݂ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ

para cualquier número ߣ ‫ א‬Թ.

TIPOS DE SOLUCIONES

Una ED puede tener muchas soluciones (como se verá más adelante). Existen tres
tipos de soluciones.
Cuando una ED es resuelta analíticamente, se obtiene una solución general, que
involucra constantes arbitrarias‫ܥ‬ଵ , ‫ܥ‬ଶ , … , ‫ܥ‬௠ :
‫ ݕ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , … , ‫ݔ‬௡ , ‫ܥ‬ଵ ,‫ܥ‬ଶ , … , ‫ܥ‬௠ ሻ

Al sustituirlas por valores, se llega a una solución particular.
Al conjunto de las soluciones particulares que satisfacen una misma solución
general se lo llama familia de soluciones.
A una solución de la ED que no pertenece a la familia de soluciones de una
solución general, se la llama solución singular.
CONDICIONES INICIALES Y DE CONTORNO
Para particularizar unasolución general, los valores por los que hay que sustituir a
las constantes se obtienen haciendo cumplir a dicha solución ciertas condiciones. Éstas
pueden ser condiciones iniciales, es decir, que determinen el valor de la función y sus
derivadas en un punto dado, o condiciones de contorno, que son los valores que toma
la variable independiente en los extremos del intervalo sobre el que estádefinida ݂.
Para poder determinar unívocamente la solución particular son necesarias tantas
condiciones (iniciales o de contorno) como orden de la ED.

Juan Manuel Leiva Butti
Secretaría de Asuntos Académicos del CEI

2011
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Facultad de Ingeniería

Análisis Matemático II

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE PRIMER ORDEN
Una...