Ecuaciones Diferenciales

Capitulo II


ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR



2.1 Ecuaciones Diferenciales Lineales de 2do Orden.



Forma General: [pic] (2.1)
donde si:
R(x) = 0 la ecuación (2.1) es homogénea
R(x) ( 0 la ecuación (2.1) es no homogénea


Teorema 2.1
Sean y1 , y2 dos soluciones particulares de la ecuación diferencial homogénea[pic] (2.2)
entonces una función
[pic]
es también una solución de dicha ecuación


Demostración :
Considerando que [pic], es solución de (2.2) la debe satisfacer. Por tanto derivando y reemplazando en (2.2) tenemos:
[pic]
[pic]
l.q.q.d.



Teorema 2.2

Si y1 , y2 son soluciones particulares de (2.2) en las que se verifica que existeuna función [pic] llamada wronskiano, tal que :

[pic]

y además [pic] tiene existencia real, existen entonces dos constantes c1 y c2 tales que la solución completa de la ecuación (2.2) es:

[pic]

Demostración :
i) En primer lugar demostraremos que si [pic]son soluciones de (2.2), se cumple: [pic] (2.3)
calculando : [pic] (2.4)


Las soluciones[pic] deben satisfacer la ecuación diferencial (2.2), por tanto:
[pic] (2.5)
[pic] (2.6)
multiplicando (2.5)por yj y (2.6)por yi y restando encontramos
[pic]
reemplazando (2.3) y (2.4), resulta
[pic]
que es una ecuación de variables separables que podemos resolver
[pic]
ii) Considerando el par de soluciones (y3,y1) y (y3,y2), aplicando los resultadosanteriores podemos escribir:
[pic]


Caso particular: Hay dos casos en los cuales hace falta determinar la segunda solución particular:


• Si y1 , y2 son linealmente dependientes ([pic])
• Si solamente conocemos y1


En cualquiera de los dos casos debemos buscar una segunda solución : y2, de modo que :


[pic]


reemplazando en (2.2), tenemos:


[pic]dividiendo los términos remanentes entre [pic] y ordenando se tiene:

[pic],


despejando en términos separables e integrando:


[pic]
[pic] (2.7)

Considerando la solución completa, reemplazamos y simplificamos:
[pic]
[pic] (2.8)

Ejemplo 2.1: Resolver [pic]

[pic]


Teorema 2.3: Solución de ecuación no homogénea

Siy1, y2 son soluciones particulares de la ecuación diferencial homogénea (2.2) y [pic] y [pic] es una solución particular conocida de (2.1), con [pic], solución completa de (2.2), llamada función complementaria, entonces: [pic]es solución completa de (2.1).

En resumen los pasos para resolver (2.1) son:

1 Determinar la solución completa de la ecuación correspondiente homogénea, o sea, R(x) =0, es decir, la llamada función complementaria yh.
2 Determinar la solución particular de la ecuación diferencial no homogénea, Y.
3 La solución general será la suma de las dos soluciones anteriores, esto es, [pic]


2.2 Solución de la Ecuación Diferencial Homogénea de Coeficientes Constantes


Forma General: [pic] (2.9)
Solución: Para determinar la solución de (2.9), detodas las soluciones posibles se ensaya con soluciones de la forma
[pic] (2.10)
que debe satisfacer (2.9). Por tanto, reemplazando (2.10) y sus derivadas [pic] en la ecuación (2.9), tenemos:

[pic]

llamada ecuación característica. Resolviendo dicha ecuación encontraremos dos raíces: [pic].
[pic]

para cada valor de m corresponde una solución particular de la forma (2.10), de modoque : [pic] y [pic].

Dependiendo de cómo sean las raíces [pic], encontraremos una solución completa, si no es así debemos aplicar la derivación del teorema 2.2. A continuación analizaremos cada caso:

Caso 1: [pic] raíces reales y diferentes
En este caso se cumple que el wronskiano [pic], por tanto existen las soluciones linealmente independientes: [pic] y la solución completa será:...