Ecuaciones Diferenciales

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) Variación de los parámetros. La posición y la aceleración, en función del tiempo, de una masa puntual moviéndose unidimensionalmente, vienen relacionadas por la ecuacióndiferencial

(unidades mks)

Determinar la ecuación del movimiento (posición en función del tiempo) de la partícula si la misma parte del origen con una velocidad de 3 m/s.

SoluciónExpresando la aceleración como la derivada segunda de la posición y reordenando la ecuación tenemos:

Hallemos primero la solución de la ecuación homogénea asociada. Es ésta:

La ecuación característicaes:

Ahora debemos hallar una solución particular del problema no homogéneo. Vemos que, por el tipo de función excitación, deberemos usar En vista de la base de soluciones del problema homogéneohalladas, será:

Hallemos ahora v1 y v2:

Si ahora sumamos las dos ecuaciones de este último sistema tendremos.

Con las funciones v1 y v2 así obtenidas podemos escribir:

con lo cual la solucióngeneral del problema no homogéneo es:

Las condiciones iniciales indican que cuando t es 0 , x = 0 y v = 3. De esta manera, podemos escribir:

Con estos valores de la constante tenemos, finalmente:Que es la solución al problema de valores iniciales planteado.

) Coeficientes indeterminados. Resolver el problema de valores iniciales:

Solución

Primero resolvemos la ecuaciónhomogénea asociada. La ecuación característica será:

Ahora nos toca hallar la solución particular del problema no homogéneo. Vemos que la función excitación es un producto de una exponencial por uncoseno, por lo cual podemos intentar hallar la solución particular por el método de los coeficientes indeterminados. La función excitación es e-tcost, de modo que normalmente propondríamos como función deprueba una combinación lineal de senos y cosenos, Ae-tcost + Be-tcost. Sin embargo, en este caso particular ésta sería una solución del problema homogéneo, por lo cual debemos multiplicarla por la...