Ecuaciones Diferenciales

TRANSFORMADA
TRANSFORMADA DE
FOURIER
Señales y Sistemas
Pontificia Universidad Javeriana
2010

Julián Quiroga Sepúlveda

Transformada
Transformada de Fourier L1

Ing. Julián QuirogaSepúlveda. M.Sc.

Transformada
Transformada de Fourier L1 (Cont.)
(Cont.)

Ing. Julián Quiroga Sepúlveda. M.Sc.

Transformada
Transformada de Fourier L1 (Cont.)
(Cont.)

Ing. Julián QuirogaSepúlveda. M.Sc.

Transformada
Transformada de Fourier L1 (Cont.)
(Cont.)

Ing. Julián Quiroga Sepúlveda. M.Sc.

Ejemplo. Encuentre la TF de la señal x(t ) = e
(Campana de Gauss o SeñalGaussiana)

X (Ω) =
=
=

=

∞

∫

x(t )e − jΩt dt

−∞
∞

∫e

−∞
∞

∫e

−∞
∞

∫e

− at

2

e

− jΩt

(
dt = ∫ e


− a t 2 + j Ωt +
a


(

−a t+

Ω
j 2a)

−∞

Conociendo que

X (Ω) =

∞

π
a

∫

2

− a t 2 + j Ωt
a

−∞

( ) ( )
jΩ 2
jΩ 2 
− 2a 
2a

dt

( ) dt = e
e

∞

−∞

) dt

a

jΩ
2a

2

2
− Ωa4

∞

∫e

(

Ω
−a t+ j 2a

−∞

e

−u2

du = π

2

e

− Ωa
4

También una Gaussiana!

Ing. Julián Quiroga Sepúlveda. M.Sc.

)

dt

− at 2

, a > 0.

PropiedadesPropiedades de la TF

Propiedades
Propiedades de la TF (Cont.)

Propiedades
Propiedades de la TF (Cont.)

Ing. Julián Quiroga Sepúlveda. M.Sc.

Propiedades
Propiedades de la TF (Cont.)Compresión en el tiempo-expansión
en frecuencia (frecuencias más altas
presentes en la señal) y viceversa!

Ing. Julián Quiroga Sepúlveda. M.Sc.

Propiedades
Propiedades de la TF (Cont.)La magnitud de la transformada de Fourier no se altera y se presenta un
cambio lineal en la fase.

Ing. Julián Quiroga Sepúlveda. M.Sc.

TF de un exponencial complejo
Ejemplo. Encuentre laTIF de la señal X (Ω) = δ (Ω − Ω0 ) .
1
x( t ) =
2π
=

1
2π

∞

∫

X (Ω ) e jΩt d Ω

−∞
∞

δ (Ω − Ω0 ) e jΩt d Ω =
∫

−∞

1 jΩ0t
e
2π

Por tal motivo

ℑ−1 {δ (Ω − Ω0 )} =...