ECUACIONES DIFERENCIALES






Curso: Ecuaciones Diferenciales
Código: MA-310

Proyecto Ecuaciones Diferenciales




Aplicaciones en circuitos eléctricos LRC. Circuitos amortiguados, subamortiguados, críticamente amortiguados.



Ingeniería Electrónica



Profesor: Evelyn Delgado



Alumno: Luis Carlos Castro Alvarado


‘
II Cuatrimestre, 2013


ÍndicePortada………………………………………………………………………...1
Índice……………………………………………………………………….....2
Introducción……………………………………………………………….….3
Objetivos………………………………………………………………….…..4
Desarrollo Teórico……………………………………………………….……5
Desarrollo Practico……………………………………………………...……10
Conclusión……………………………………………………………………13
Bibliografía…………………………………………………………………...14






















Introducción

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o másfunciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

* Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
* Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Para el entendimiento delas ecuaciones diferenciales realizamos el siguiente trabajo, el cual abarca las ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden y la transformación de Laplace.

También se encuentran algunos ejemplos de cómo son aplicadas las ecuaciones diferenciales en la ingeniería en este caso se representa en la mecánica y en electrónica con el desarrollo de circuitos eléctricos dondese puede apreciar sus aplicaciones.













Objetivo General

Estudiar y comparar el comportamiento de algunos montajes de circuitos eléctricos R,L,C amortiguados y subamortiguados mediante el uso de las ecuaciones diferenciales y transformadas de La Place en su comportamiento en una implementación real.


Objetivos Específicos

1. Implementar el uso de las diversas formasde solucionar una ecuación diferencial aplicadas en circuitos eléctricos RLC.

2. Comprobar de qué manera están relacionados las ecuaciones diferenciales y sus diferentes temas a la ingeniería.


















Mecánica y Electricidad

Una de las más famosas ecuaciones diferenciales, lineales, ordinaria con coeficientes constantes es:


La cual utiliza para describirsistemas mecánicos y toma la forma:



y circuitos eléctricos:



Analicemos la ecuación que describe sistemas mecánicos y dejamos la que describe sistemas eléctricos para un análisis posterior. El primero de los casos a analizar será el de las oscilaciones libres, vale decir F (t) = 0, lo cual en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales se traduce a ecuaciones diferenciales homogéneas.En contraste, si F (t) 6= 0; es decir, el caso no-homogéneo, estaremos describiendo oscilaciones forzadas.

Oscilaciones libres no amortiguadas

Analicemos pues del caso del oscilador armónico libre, i.e.



w0 se denomina la frecuencia natural de oscilación y C1 y C2 las constantes de integración que se determinan de las condiciones iníciales. Es claro que:





con R la amplitud y± en ángulo de fase. Obviamente, el periodo del movimiento será:



Oscilaciones Libres Amortiguadas

Consideremos que en el movimiento actúa una fuerza de amortiguación proporcional a la velocidad, por lo cual el movimiento viene descrito por:



Cambios de velocidad inicial no afectan la frecuencia natural la cual constituye una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden.Las raíces del polinomio característico asociado serán:



por lo tanto la solución será:


de donde se deducen los siguientes casos:



Oscilaciones Forzadas

Supongamos ahora que existe una fuerza aplicada al sistema tal que:


Oscilaciones Forzadas no amortiguadas

En este caso y por lo tanto:




Amplitud modulada...