Ecuaciones Diferenciales

2.5 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. Hasta ahora hemos trabajado con ecuaciones diferenciales que involucran solamente una variable independiente. Con estas herramientas matemáticas podemos modelar problemas de ingeniería como por ejemplo conocer la respuesta dinámica de un edificio de un piso o de un tanque elevado para almacenamiento de agua, entre muchos otros. En estetema analizaremos sistemas de ecuaciones diferenciales, las cuales surgen de plantear problemas de ingeniería más elaborados que requieren no sólo una ED sino de un conjunto de ecuaciones. Tal es el caso, por ejemplo, del cálculo de la respuesta dinámica de un edificio de dos o más niveles, donde se plantea una ED para cada nivel. Para comenzar con el estudio de los sistemas de ecuacionesdiferenciales, veremos algunas aplicaciones. Primero veremos cómo plantear la ecuación diferencial que describe el movimiento en el tiempo de una masa sujeta a un resorte, y posteriormente haremos el planteamiento del sistema de ecuaciones que describe el movimiento en el tiempo de dos masas acopladas. A las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento en el tiempo de una masa, se les llamaecuaciones de movimiento. Ecuación de movimiento de un sistema masa-resorte. Los sistemas de masa-resorte son muy utilizados en distintas ramas de la ingeniería para moderar vibraciones mecánicas. En la ingeniería civil se utilizan para moderar cimentaciones de maquinaria, respuesta dinámica de pilotes, muros de retención, análisis de la respuesta dinámica de edificios, entre otros. Para mostrar laaplicación de los sistemas de ecuaciones diferenciales tomaremos el caso del análisis dinámico de un edificio. Considere el edificio de un solo nivel mostrado en la figura 1.

Figura 1. Modelo esquematizado de un edificio de un nivel Lo que se busca conocer de este problema es la posición de la losa del edificio en cualquier tiempo t, como resultado de la carga lateral Q(t). Para analizar el problemase idealiza el edificio
Ecuaciones diferenciales. Profesor Bogart Méndez

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como una masa sujeta a un resorte, donde la masa concentrada representa a la losa del edificio y el resorte a las columnas del mismo. El modelo queda como sigue:

Figura 2. Modelo discreto de un edificio de un nivel Haciendo un análisis de las fuerzas actuantes en el sistema tenemos:

Figura 3. Diagrama decuerpo libre de la masa concentrada del modelo del edificio Q(t) es la fuerza lateral ene el tiempo t , y Fs es la fuerza que ejerce el resorte sobre la masa. Esta fuerza se opone al movimiento ya que es una fuerza interna que se opone a la deformación. Si suponemos que el sistema es lineal, lo cual es cierto para bajos niveles de carga, entonces la Ley de Hooke es válida y la fuerza en el resorteestá dada por: Fs = ky Donde k es la rigidez de la columnas (constante del resorte) y y es el desplazamiento de la masa d2y m, por lo tanto, es su aceleración. dt 2 La fuerza resultante está dada por: Q(t) – Fs De acuerdo con la segunda Ley de Newton: F = ma, sustituyendo la fuerza resultante y la aceleración: Q(t ) − Fs = my ' ' ⇒ my ' '+ Fs = Q(t ) Sustituyendo a Fs por ky obtenemos la ecuación demovimiento buscada:
Ecuaciones diferenciales. Profesor Bogart Méndez

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my ' '+ ky = Q(t ) ⇒ m

d2y + ky = Q(t ) dt 2

(A)

La ecuación (A) es una ED lineal de segundo orden no homogénea con coeficientes constantes. Al resolver la ecuación (A) obtenemos la función y(t) que representa el desplazamiento de la losa del edificio bajo la acción de la carga dinámica Q(t) originada porel sismo. Ahora veamos el caso de un edificio de dos niveles. Ecuaciones de movimiento de un sistema de masa-resorte de dos masas. En este caso el problema a analizar es el siguiente:

Figura 4. Modelo esquematizado de un edificio de dos niveles En este caso el problema se idealiza como dos masas acopladas con resortes:

Figura 5. Modelo discreto de un edificio de dos niveles

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