ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales lineales
2.3 La Ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes de orden n y su solución. Ecuación auxiliar.
Raíces reales diferentes, reales iguales ycomplejas.

Antecedentes:
1.
2.
3.
4.

Métodos de integración
Operador diferencial
Ecuación auxiliar o característica
Raíces de polinomios

Presentación

dy
 u y  0 , tiene la solucióndx
a es una constante, en el intervalo    ,   ; por

Hemos visto que la ecuación lineal de primer orden,
exponencial

y  C 1 e a x

donde

consiguiente, lo más natural es tratar dedeterminar si existen soluciones exponenciales
en

   ,   de las ecuaciones lineales homogéneas de orden superior del tipo

a n y   a n  1 y
n

n  1

1

   a 1 y'  a 0 y 0

en donde los coeficientes

a i , i  0 , 1, 2 ,  , n

an  0.

son constantes reales y

Para nuestra sorpresa, todas las soluciones de la ecuación (1) son funciones
exponenciales oestán formadas a partir de funciones exponenciales.
Método de solución Comenzaremos con el caso especial de la ecuación de segundo
orden a 2 y''  a 1 y'  a 0 y  0
2

 

Al reescribirla entérminos del operador diferencial

a

2



D 2  a1 D  a 0 y  0

y transformarla en la ecuación auxiliar o característica a 2

m 2  a1 m  a 0  0

, se

pueden distinguir deferentescasos de solución del polinomio.
Caso1 Raíces reales distintas: quedando la solución de la ecuación diferencial con

 C2 e
una ecuación diferencial de orden n

dos constantes esenciales yarbitrarias de la forma
manera general se puede decir que

a n y   a n  1 y
n

n  1

   a 1 y'  a 0 y  0

operador diferencial como

1
AVEM

y  C1 e

m1 x

m2 x

. De

sepuede expresar por su

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2.3 La Ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes de orden n y su solución. Ecuación auxiliar.
Raíces reales...