ecuaciones diferenciales

ED
Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes.
FORMATO ED
de acuerdo a su tipo, orden, grado y linealidad.En las primeras tres características que describí no tengo problema en identificarlas, solo que, al preguntarme ¿Cuál es sulinealidad?, es donde empieza la confusión.Sé que una Ecuación Diferencial es lineal cuando:1.- La variable dependiente "y" y todas sus derivadas son de grado uno.2.- Los coeficientes de la variable dependiente "y" y de todas las derivadas están en términos de la variable independiente x, o bien, son constantes.Pondré unos ejemplos para dejarlo mas claro.Ejemplo 1.-
(1-y)y'+2y=e^(x)Esta Ecuaciónno se considera lineal puesto a que el coeficiente (1-y) depende de "y" y no de x.
Ejemplo 2.-
y''+sen(y)=0
Esta Ecuación se considera no lineal debido a que "sen(y)" es un termino no lineal.
Ejemplo 3.-
y''=\sqrt{1+(y')^(2)}
el ejemplo me dice: Esta ecuación no es lineal. ¿Por qué?, ¿quizá por que y' esta elevada a un exponente al cuadrado?.
Ejemplo 4.-
(sen\theta )y'''-(cos\theta)y'=2
El ejemplo me dice: Esta ecuación es lineal. Y yo me pregunto ¿Por que?, si en el Ejemplo 2 me dice que "sen(y)" es un termino no lineal. Osea que las Ecuaciones lineales no usan funciones trigonométricas. En este Ejemplo 4 se utilizan dos funciones trigonométricas como coeficientes, es por eso que me pregunto: ¿Por que es lineal?
Otra de mis preguntas es: ¿Se toman en cuenta ambos términosde la ecuación al momento de identificarla? Quiero decir ambos términos de la ecuación, separados por el signo " = ".

De antemano se los agradezco.
CLASIFICACION DE LAS ED
Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad.

4.1 Clasificación por Tipo:

Si una ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variableindependiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO):

Ejemplo:



Si una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP)

Ejemplo:



En estos estos ejemplos se nota que existen más de dos variables independientes, contrario a las ecuaciones diferenciales ordinarias que solotiene una variable independiente.

4.2. Clasificación según el orden:

El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación:

Por ejemplo:

a) , esta ecuación es de orden 2, no debe confundirse con el exponente 3 que esta definido para la derivada de orden 1. Y como para el orden se debe tener en cuenta el mayor orden entonces el orden es 2.b) y'''+ 3y'' - 3y' - y = 0 es una ecuación de orden 3

c) M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es una ecuación diferencial de orden 1, porque hay que tener en cuenta que y' = dy/dx.

4.3. Clasificación según la Linealidad:

Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y',..., y(n). Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n eslineal cuando F (x, y, y',..., y(n)) = 0 es:



En la combinación aditiva en el lado izquierdo de la anterior podemos afirmar que:

La variable dependiente "y" y todas sus derivadas y', y'',..., y(n) son de primer grado. Y los coeficientes a0, a1,..., an dependen solo de la variable x.

Los ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales se tiene las siguientes:

a) y''+xy'-3y=e2x , b) y''' +y'' + y = 0, c) (1-x) y'' - 4xy' + 5y = cos x

Los ejemplos de ecuaciones no lineales tenemos:

a) (1-y) y'' - 2y= ex, es una ecuación diferencial no lineal porque el coeficiente de la variable dependiente y'' también depende de y.

b) y'' + sen y = 0 Es una ecuación diferencial no lineal porque la función seno es función de y

c) y'' + y2 = 0, es una ecuación diferencial no lineal...