Ecuaciones Diferenciales

TEORíA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES
n Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior n Problema de valores iniciales
n Existencia y unicidad n Problema de valores en lafiontera
nEcuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas n Operador diferencial lineal
H Dependencia Zineal n Independencia lineal H Wronskiano n Conjuntofundamental de soluciones
H Principios de superposición nSolución general n Función complementaria n Solución particular
4.1.1 Problemas de valor inicial y de valor en la frontera
Problema de valores iniciales En la sección 1.2 definimos qué es unproblema de
valores iniciales para una ecuación diferencial general de orden n. Para una ecuación diferencial
lineal, un problema de valores iniciales de orden n es
Sujeta f.7: y(n) = yo, y’(x0) = yl, . .., y(“-‘)XO = y,-1. (1)
Recuérdese que, para un problema como éste, se busca una función definida en algún intervalo
I que contenga a XO, y satisfaga la ecuación diferencial y las n condicionesiniciales especificadasenxo:
y(xo)=yo,y’(xo)=yl,. . .,y(*-‘)(xg)=y,-1. Ya vimos que en el caso de un problema
de valores iniciales de segundo orden, una curva de solución debe pasar por el punto (~0,yo) y
tener ia pendiente y1 en ese punto.
Existencia y unicidad En la sección 1.2 enunciamos un teorema que especifica las
condiciones para garantizar la existencia y unicidad de una solución de unproblema de valores
iniciales de primer orden. El teorema siguiente describe las condiciones suficientes de existencia
de solución única para el problema representado por las ecuaciones (1).
seana,(x), ua-1 (Tc), . . ., q(x), a&) y g(x)contìmutg edlm int%rvaio r, p
toda x del intervalo. Si x = xo es cualquier pu& en el iWerv8& @xis& @%I SJ
intervalo y(x) del problema de valores i&i&earepresenta& por &z!+ ~i#
única.
El problema de valores iniciales
Solución única de un problema de valores iniciales
3y’” + 5y” - y’ + 7y = 0, y(l) = 0, y’(l) = 0, y”(Il) = 0
tiene la solución trivial...