Ecuaciones Diferenciales
Páginas: 3 (666 palabras)
Publicado: 22 de julio de 2015
Solución de Examen Final de Ecuaciones Diferenciales
Primer semestre de 2014
1. Tomando transformación a ambos lados de la ecuación
Z t
L f3 sen 2tg = L y (t) +
(t
)y( ) d
= L fy (t)g + L ft y (t)g0
Se llega a que
s2
1
1
6
= Y (s) + L ftg L fy (t)g = Y (s) + 2 Y (s) = Y (s) 1 + 2
+4
s
s
despejando
6s2
;
(s2 + 1) (s2 + 4)
Y (s) =
por lo tanto
6s2
(s2 + 1) (s2 + 4)
1
y (t) = L
Por medio defracciones parciales se encuentra que
6s2
8
= 2
2
2
(s + 1) (s + 4)
s +4
s2
2
+1
Luego
L
1
6s2
(s2 + 1) (s2 + 4)
8
2
2
+4 s +1
1
= 8L 1
L 1
s2 + 4
= 4 sen 2t sen t:
= L
1
s2
1
s2 + 1
Por lotanto
y (t) = 4 sen 2t
sen t
Rt
2. Por de…nición, t U (t a) = 0 (t
)U (
a) d . Considere por separado los caso cuando
a < t y cuando a > t. Cuando a < t, entonces
Z
0
t
(t
)U (
a) d =
Z
t(t
)d =
a
Cuando a > t, entonces U (
)2
(t
2
t
=
a
1
(t
2
a) = 0 dado que < t < a y
Z t
(t
)U (
a) d = 0:
0
Por lo tanto
t U (t
a) =
1
2
)2 ;
(t
0;
5
1
t>a
= (t
t
a)2 U (t
a) :)2 :
Opción 2: Sea y (t) = t U (t
a), entonces
Y (s) = L fy (t)g = L ft U (t
a)g = L ftg L fU (t
a)g =
1 e as
e as
=
:
s2
s
s3
Ahora
y (t) = t U (t
a) = L
1
fY (s)g = L
1
e as
s3
=
1 2t
2
3. Escribamos la ecuación en la forma canónica
y
dy
y
dy
= ln (xy) =)
= (ln x + ln y)
dx
x
dx
x
t!t a
U (t
=)
a) =
1
(t
2
a)2 U (t
a)
1 dy
1
= (ln x + ln y) :
y dx
x
du
1 dy
Considere lasustitución u = ln y, entonces
=
. Por lo tanto la ecuación se transforma
dx
y dx
en
du
1
du u
ln x
= (ln x + u) =)
=
:
dx
x
dx x
x
Esta última ecuación es lineal en u. Por consiguiente la solución esdada por
Z
Z
R dx
R dx ln x
1 ln x
x
x
u (x) = e
dx + c = x
dx + c :
e
x
x x
Dejar la integral indicada es su…ciente. Pero obsérvese que no es difícil encontrar la integral,
basta con hacerintegración por partes: u = ln x y v = x12 , para obtener que
1
(ln x + 1) :
x
u=x c
4. De la Segunda Ley de Newton tenemos que
dv
dv
k
= mg kv WV
=g
v:
dt
dt
m
Antes de abrir el paracidas tenemos que k1 =...
Primer semestre de 2014
1. Tomando transformación a ambos lados de la ecuación
Z t
L f3 sen 2tg = L y (t) +
(t
)y( ) d
= L fy (t)g + L ft y (t)g0
Se llega a que
s2
1
1
6
= Y (s) + L ftg L fy (t)g = Y (s) + 2 Y (s) = Y (s) 1 + 2
+4
s
s
despejando
6s2
;
(s2 + 1) (s2 + 4)
Y (s) =
por lo tanto
6s2
(s2 + 1) (s2 + 4)
1
y (t) = L
Por medio defracciones parciales se encuentra que
6s2
8
= 2
2
2
(s + 1) (s + 4)
s +4
s2
2
+1
Luego
L
1
6s2
(s2 + 1) (s2 + 4)
8
2
2
+4 s +1
1
= 8L 1
L 1
s2 + 4
= 4 sen 2t sen t:
= L
1
s2
1
s2 + 1
Por lotanto
y (t) = 4 sen 2t
sen t
Rt
2. Por de…nición, t U (t a) = 0 (t
)U (
a) d . Considere por separado los caso cuando
a < t y cuando a > t. Cuando a < t, entonces
Z
0
t
(t
)U (
a) d =
Z
t(t
)d =
a
Cuando a > t, entonces U (
)2
(t
2
t
=
a
1
(t
2
a) = 0 dado que < t < a y
Z t
(t
)U (
a) d = 0:
0
Por lo tanto
t U (t
a) =
1
2
)2 ;
(t
0;
5
1
t>a
= (t
t
a)2 U (t
a) :)2 :
Opción 2: Sea y (t) = t U (t
a), entonces
Y (s) = L fy (t)g = L ft U (t
a)g = L ftg L fU (t
a)g =
1 e as
e as
=
:
s2
s
s3
Ahora
y (t) = t U (t
a) = L
1
fY (s)g = L
1
e as
s3
=
1 2t
2
3. Escribamos la ecuación en la forma canónica
y
dy
y
dy
= ln (xy) =)
= (ln x + ln y)
dx
x
dx
x
t!t a
U (t
=)
a) =
1
(t
2
a)2 U (t
a)
1 dy
1
= (ln x + ln y) :
y dx
x
du
1 dy
Considere lasustitución u = ln y, entonces
=
. Por lo tanto la ecuación se transforma
dx
y dx
en
du
1
du u
ln x
= (ln x + u) =)
=
:
dx
x
dx x
x
Esta última ecuación es lineal en u. Por consiguiente la solución esdada por
Z
Z
R dx
R dx ln x
1 ln x
x
x
u (x) = e
dx + c = x
dx + c :
e
x
x x
Dejar la integral indicada es su…ciente. Pero obsérvese que no es difícil encontrar la integral,
basta con hacerintegración por partes: u = ln x y v = x12 , para obtener que
1
(ln x + 1) :
x
u=x c
4. De la Segunda Ley de Newton tenemos que
dv
dv
k
= mg kv WV
=g
v:
dt
dt
m
Antes de abrir el paracidas tenemos que k1 =...
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