Ecuaciones Diferenciales
Páginas: 40 (9827 palabras)
Publicado: 7 de marzo de 2013
CAP´ ITULO 2
atem
La anterior ecuaci´n se puede escribir como h(y) dy = g(x) dx e integrano h(y) dy = g(x) dx + C, Ejemplo 1. Soluci´n: o
dy dx
= e3x+2y
Un
dy = e3x+2y = e3x e2y dx 7
ive
Nota: la constante o par´metro C, a veces es conveniente escribirla de a otra manera, por ejemplo, m´ltiplos de constantes o logaritmos de constantes u o exponenciales de constantes o si aparece la suma devarias constantes reunirlas en una sola constante.
rsid
ad
de
obteni´ndose as´ una familia uniparam´trica de soluciones. e ı e
An tioq
do:
uia
,D
o de variables separables.
ept
Definici´n 2.1. Se dice que una E.D. de la forma: o
dy g(x) = es separable dx h(y)
o. d
2.1.
VARIABLES SEPARABLES
eM
atic
´ ´ METODOS DE SOLUCION
as
8
´ ´ CAP´ ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
separandovariables dy = e3x dx 2y e e integrando 1 e3x − e−2y + C = 2 3
Ejemplo 2.
dy dx
= xy 3 (1 + x2 )− 2 , con y(0) = 1
1
Soluci´n: separando variables o 2x y −3 dy = √ dx 2 1 + x2 = obtenemos = 1 du √ 2 u 1 d(1 + x2 ) √ 2 1 + x2
,D
ept uia
haciendo u = 1 + x2 du = 2xdx
Cuando x = 0, y = 1 − √ 1 = 1 + 02 + C 2×1
Un
−
√ 1 = 1 + x2 + C. 2y 2
ive
soluci´n general o
rsid
1 (1 + x2 ) 2 y −2 = +Ce integrando 1 −2 2 2
ad
de
1
An tioq
o. d
eM
atem
e3x e−2y + =C 3 2
atic
as
la soluci´n general es o
2.1. VARIABLES SEPARABLES luego C = −3 2 La soluci´n particular es o −1 √ 3 = 1 + x2 − 2 2y 2
9
Resolver los siguientes ejercicios por el m´todo de separaci´n de variables: e o Ejercicio 1. (4y + yx2 ) dy − (2x + xy 2 ) dx = 0 (Rta. 2 + y 2 = C(4 + x2 ))
Ejercicio 5. (Rta.Ejercicio 8. Se suministran bacterias como alimento a una poblaci´n o de protozoarios a una raz´n constante µ. Se ha observado que las bacterias o son devoradas a una tasa proporcional al cuadrado de su cantidad. Si c(t) es la cantidad de bacterias en el instante t, hallar la E.D.; determinar c(t) en funci´n de c(0); ¿cu´l es la concentraci´n de equilibrio de las bacterias, es o a o ′ decir, cuando c (t)= 0√ ? √ √ √ √ µ+ kc(t) µ+ kc(0) 2 kµt (Rta.: √µ−√kc(t) = √µ−√kc(0) e ; concentraci´n de equilibrio c = µ ) o k
Un
ive
rsid
dy Ejercicio 7. Hallar la soluci´n general de la E.D. dx − y 2 = −9 y luego o hallar en cada caso una soluci´n particular que pase por: o 1 a) (0, 0), b) (0, 3), c) 3 , 1 y−3 1 (Rta. a) y+3 = −e6x , b) y = 3, c) y−3 = − 2 e−2 e6x ) y+3
ad
de
An tioq
Ejercicio 6. x2 y′ = y − xy, si y(−1) = −1 1 (Rta. ln |y| = − x − ln |x| − 1)
uia
,D
xy + 3x − y − 3 dy = dx xy − 2x + 4y − 8 y+3 ( x+4 )5 = Cey−x )
ept
o. d
Ejercicio 4. y ′ sen x = y ln y, si y (Rta. ln y = csc x − cot x)
π 2
=e
eM
Ejercicio 3. 3ex tan y dx + (2 − ex ) sec2 y dy = 0 (Rta. (2 − ex )3 = C tan y)
atem
atic
Ejercicio 2. y ′ + y 2 sen x = 0 (Rta. y = − cos 1 ) x+c
as
10
´ ´ CAP´ITULO 2. METODOS DE SOLUCION en
dy dy Ejercicio 9. Resolver por variables separables: a x dx + 2y = xy dx y = a y x = 2a. 3 y (Rta.: yx2 = 4a e a ) e
2.2.
´ ECUACIONES HOMOGENEAS
Definici´n 2.2. f (x, y) es homog´nea de grado n si existe un real n tal que o e n para todo t: f (tx, ty) = t f (x, y). Ejemplo 3. f (x, y) = x2 + xy + y 2 es homog´nea de grado dos. e Definici´n 2.3. Si una ecuaci´n enla forma diferencial : o o M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
M´todo de soluci´n: dada la ecuaci´n e o o
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 donde M (x, y) y N (x, y) son funciones homog´neas del mismo grado; mee diante la sustituci´n y = ux o x = yv (donde u o v son nuevas variables o ´ ´ dependientes), puede transformarse en una ecuaci´n en variables separables. o Nota: si la estructura algebraica de N esm´s sencilla que la de M , ena tonces es conveniente usar las sustituci´n y = ux. o Si la estructura algebraica de M es m´s sencilla que la de N , es conveniente a usar la sustituci´n x = vy. o Ejemplo 4. Resolver por el m´todo de las homog´neas, la siguiente E.D.: e e y y (x + ye x ) dx − xe x dy = 0, con y(1) = 0.
Un
ive
rsid
ad
de
An tioq
uia
Siempre que se tenga una E.D. homog´nea...
atem
La anterior ecuaci´n se puede escribir como h(y) dy = g(x) dx e integrano h(y) dy = g(x) dx + C, Ejemplo 1. Soluci´n: o
dy dx
= e3x+2y
Un
dy = e3x+2y = e3x e2y dx 7
ive
Nota: la constante o par´metro C, a veces es conveniente escribirla de a otra manera, por ejemplo, m´ltiplos de constantes o logaritmos de constantes u o exponenciales de constantes o si aparece la suma devarias constantes reunirlas en una sola constante.
rsid
ad
de
obteni´ndose as´ una familia uniparam´trica de soluciones. e ı e
An tioq
do:
uia
,D
o de variables separables.
ept
Definici´n 2.1. Se dice que una E.D. de la forma: o
dy g(x) = es separable dx h(y)
o. d
2.1.
VARIABLES SEPARABLES
eM
atic
´ ´ METODOS DE SOLUCION
as
8
´ ´ CAP´ ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
separandovariables dy = e3x dx 2y e e integrando 1 e3x − e−2y + C = 2 3
Ejemplo 2.
dy dx
= xy 3 (1 + x2 )− 2 , con y(0) = 1
1
Soluci´n: separando variables o 2x y −3 dy = √ dx 2 1 + x2 = obtenemos = 1 du √ 2 u 1 d(1 + x2 ) √ 2 1 + x2
,D
ept uia
haciendo u = 1 + x2 du = 2xdx
Cuando x = 0, y = 1 − √ 1 = 1 + 02 + C 2×1
Un
−
√ 1 = 1 + x2 + C. 2y 2
ive
soluci´n general o
rsid
1 (1 + x2 ) 2 y −2 = +Ce integrando 1 −2 2 2
ad
de
1
An tioq
o. d
eM
atem
e3x e−2y + =C 3 2
atic
as
la soluci´n general es o
2.1. VARIABLES SEPARABLES luego C = −3 2 La soluci´n particular es o −1 √ 3 = 1 + x2 − 2 2y 2
9
Resolver los siguientes ejercicios por el m´todo de separaci´n de variables: e o Ejercicio 1. (4y + yx2 ) dy − (2x + xy 2 ) dx = 0 (Rta. 2 + y 2 = C(4 + x2 ))
Ejercicio 5. (Rta.Ejercicio 8. Se suministran bacterias como alimento a una poblaci´n o de protozoarios a una raz´n constante µ. Se ha observado que las bacterias o son devoradas a una tasa proporcional al cuadrado de su cantidad. Si c(t) es la cantidad de bacterias en el instante t, hallar la E.D.; determinar c(t) en funci´n de c(0); ¿cu´l es la concentraci´n de equilibrio de las bacterias, es o a o ′ decir, cuando c (t)= 0√ ? √ √ √ √ µ+ kc(t) µ+ kc(0) 2 kµt (Rta.: √µ−√kc(t) = √µ−√kc(0) e ; concentraci´n de equilibrio c = µ ) o k
Un
ive
rsid
dy Ejercicio 7. Hallar la soluci´n general de la E.D. dx − y 2 = −9 y luego o hallar en cada caso una soluci´n particular que pase por: o 1 a) (0, 0), b) (0, 3), c) 3 , 1 y−3 1 (Rta. a) y+3 = −e6x , b) y = 3, c) y−3 = − 2 e−2 e6x ) y+3
ad
de
An tioq
Ejercicio 6. x2 y′ = y − xy, si y(−1) = −1 1 (Rta. ln |y| = − x − ln |x| − 1)
uia
,D
xy + 3x − y − 3 dy = dx xy − 2x + 4y − 8 y+3 ( x+4 )5 = Cey−x )
ept
o. d
Ejercicio 4. y ′ sen x = y ln y, si y (Rta. ln y = csc x − cot x)
π 2
=e
eM
Ejercicio 3. 3ex tan y dx + (2 − ex ) sec2 y dy = 0 (Rta. (2 − ex )3 = C tan y)
atem
atic
Ejercicio 2. y ′ + y 2 sen x = 0 (Rta. y = − cos 1 ) x+c
as
10
´ ´ CAP´ITULO 2. METODOS DE SOLUCION en
dy dy Ejercicio 9. Resolver por variables separables: a x dx + 2y = xy dx y = a y x = 2a. 3 y (Rta.: yx2 = 4a e a ) e
2.2.
´ ECUACIONES HOMOGENEAS
Definici´n 2.2. f (x, y) es homog´nea de grado n si existe un real n tal que o e n para todo t: f (tx, ty) = t f (x, y). Ejemplo 3. f (x, y) = x2 + xy + y 2 es homog´nea de grado dos. e Definici´n 2.3. Si una ecuaci´n enla forma diferencial : o o M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
M´todo de soluci´n: dada la ecuaci´n e o o
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 donde M (x, y) y N (x, y) son funciones homog´neas del mismo grado; mee diante la sustituci´n y = ux o x = yv (donde u o v son nuevas variables o ´ ´ dependientes), puede transformarse en una ecuaci´n en variables separables. o Nota: si la estructura algebraica de N esm´s sencilla que la de M , ena tonces es conveniente usar las sustituci´n y = ux. o Si la estructura algebraica de M es m´s sencilla que la de N , es conveniente a usar la sustituci´n x = vy. o Ejemplo 4. Resolver por el m´todo de las homog´neas, la siguiente E.D.: e e y y (x + ye x ) dx − xe x dy = 0, con y(1) = 0.
Un
ive
rsid
ad
de
An tioq
uia
Siempre que se tenga una E.D. homog´nea...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.