ECUACIONES DIFERENCIALES

2.1.2 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
Problema de valor inicial, a menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones prescritas que son las condiciones que se imponen ay(x) o a sus derivadas.
En algún intervalo Z que contenga a Xo, el problema.
Resolver:
Sujeta a :
En donde Yo,Y1,…, Yn-1 son constantes reales especificadas arbitrariamente, se llama problema de valorinicial. Los valores dados de la funcion desconocida Y(x) y de sus primeras n-1 derivadas en un solo punto se llaman condiciones iniciales.
PROBLEMAS DE VALOR INICIAL DE PRIMERO Y SEGUNDO ORDEN.
El problema enunciado con las ecuaciones (1) tambien se denomina problema de valor inicial de enesimo orden, por ejemplo:
(2) Resolver:
Sujeta a :
(3)Resolver:
Sujeta a :
Son problemas de primero y segundo orden respectivamente. Son faciles de interpretar enterminos geometricos. Para las ecuaciones (2) estamos buscando una solucion de la ecuacion diferencial en el intervalo I que contenga a Xo, tal que una curva de solucion pase por el punto prescrito (Xo, Yo)


Para las ecuaciones (3) deseamos determinar una solucion de la ecuaciondiferencial cuya grafica no pase solo por (Xo, Yo) sino que tambien pase por ese punto de tal manera que la pendiente de la curva en ese lugar sea Y1. El termino condicion inicial procede de los sistemas fisicos en que la variable independiente es el termino t y donde Y(t0)= Yo, y Y´(to) = Y1representan respectivamente la posicion y la velocidad de un objeto en cierto momento o tiempo inicial (To).
Amenudo la solucion de un problema de valor inicial de orden n extraña la aplicación de una familia n-parametrica de soluciones de la ecuacion diferencial dada para determinar n constantes especializadas de tal modo que la solucion particular que resulte para la ecuacion se ajuste o satisfaga a las n condiciones iniciales.

EJEMPLO 1
Resuelve el problema de valor inicial
Y’’ – 4y’ + 13 y = 0, y (0)= -1, y’ (0) =2
SOLUCION: las raices de la ecuacion auiliar 2 – 3i de modo que:
Al aplicar la condicion Y(0) = -1, vemos que
Diferenciamos la ecuacion de arriba y a continuacion aplicando Y’(0) = 2, obtenemos 2= 3 C2 -2 osea C2 = 4/3; por consiguiente la solucion es:

Las dos ecuaciones diferenciales, y’’+ , k real son importantes en las matematicas aplicadas. Para la primerala ecuacionauxiliar tiene las raices imaginarias m1 = ki y m2 = -k1 según la ecuacion, con la solucion general es:
Y = C1 cos kx + C2 sen kx
La ecuacion auxiliar de la segunda ecuacion tiene las raices reales distintas m1 = k y m2= - k por ello su solucion general es :

Observese que si elegimos C1 = C2 = ½ y despues C1 =½ , C2 = - ½ , llegamos a las soluciones particulares. Y= (Puesto que cosh kx y senh kx son linealmente independientes en cualquier intervalo del eje x,una forma alternativa de la solucion general dey’’

Ejemplo 2
Vimos que x=c1 cos 4t + c2 sen 4t es una familia biparametrica de soluciones de x’’ + 16x= 0 determinemos una solucion del problema de valor inicial.

Solucion. Primero sustituimos enla familia dada de soluciones















2.1.6 SOLUCION GENERAL DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGENEAS.
Sea y1,y2,…yn un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacion diferencial lineal homogenea de orden n(2) en un intervalo I. Se define como solucion general de la ecuacion en el intervalo a

En donde los ct siendo i= 1,2,... n son constantes arbitrarias.
Recuerdese que lasolucion general, tambien se la llama solucion completa de la ecuacion diferencial.
Ejemplo
La ecuacion de segundo orden y" — 9y = 0 tiene dos soluciones

para todo valor de x, entonces yi,y2 forman un conjunto fundamental de soluciones en . La solucion general de la ecuacion diferencial en el intervalo es

Ejemplo
El lector debe verificar que y = 4 sen3x — 5er3x tambien satisface la ecuacion...