Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales
Segundo Parcial

Gustavo Flores Figueroa

Dra. Maritza De Coss Gómez

5 de Marzo del 2013

Considerar la familia de curvas dada por: 3x + 4y= C1
a) Hallar trayectorias ortogonales:
* Derivar con respecto a x: 3+4dydx=0
* m1= dydx=-34

* pero m2= -1m1 m2 = 43

* por variables separables:
* dy=43dx dy= 43dx y= 43x+c* Por lo tanto la trayectoria ortogonal es: y= 43x+c

b) Graficar en una misma gráfica, la familia de curvas dada por 3x+4y=C1 y la familia ortogonal encontrada. Dar al menos 5 valores para cada una de las constantes.

Trayectorias Familia de curvas

En una sola gráfica
Con 5 valores para cada constante

En conclusión el conjunto de soluciones (osolución general) de una ecuación diferencial de primer orden es una familia de curvas que depende de un parámetro, la constante de integración. Recíprocamente, dada una familia de curvas que dependen de un parámetro c descritas por la ecuación F(x ,y) = c, existe una ecuación diferencial de primer orden de la cual esta familia es la solución general. Cada una de las curvas de la familia de formaortogonal, es decir que el ángulo que se forma entre las curvas es de 90°
Ecuaciones Homogéneas
Una función homogénea es una función que presenta un comportamiento multiplicativo de escala interesante: si todos los argumentos se multiplican por un factor constante, entonces el valor de la función resulta ser un cierto número de veces el factor multiplicativo elevado a una potencia. Dicha potencia es elgrado de la función homogénea.
f(x,y)= f(tx,ty) = tα f(x,y)

Donde α es un número real y nos indica que es una ecuación homogénea de grado α

Una ecuación diferencial es homogénea si:
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Donde M(x,y) y N(x,y) son homogéneas del mismo grado

Método de solución
* Identificar que sea una ecuación homogénea
* Cambiar de variables y=Yx o x=Vy
* La ecuación seconvierte en una ecuación de variables separables

Ejemplo: Resolver (y2 + yx)dx – x2 dy= 0 (1)
y= ux… dy=udy + ydu (2)
Sustituyendo (2) en (1)
* [(ux)2 + (ux)u]dx – x2 (udx +xdu) =0
* (u2x2 +ux2- x2u)dx – x3du=0
* U2x2 dx = x3du
* Dx/x = 1/u2 du
* ∫dx/x=1/u2 du
* Ln|x|= - (1/u2) + C
* Pero de (2) se sabe que U=y/x, Por lo tanto:
* Ln|x|= - (x/y) + CEcuaciones de Bernoulli

Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma:
Dy/dx +P(x)y = Q(x)yn …(1)

Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas y n ϵ R

Sin embargo:
* si n=0… dy/dx + P(x)y= Q(x) , es una ecuaciónlineal
* si n=1… dy/dx + [P(x)-Q(x)]y= 0
dy/y= -[P(x)-Q(x)]dx es una ecuación de variables separables

* si n≠0,1… w=y1-n
dw/dx= (dw/dy) (dy/dx)=(1-n)y1-n-1 dy/dx= (1-n)y-n
Pero: dy/dx= yn/1-n dw/dx y sustituyendo en (1):
Yn/1-n dw/dx +P(x)y=Q(x)yn
Dividiendo entre yn/1-n:
Dw/dx+ 1-n/yn P(x)y= 1-n/yn Q(x)yn
Dw/dx + (1-n) P(x)y1-n = (1-n)Q(x)
Pero w= y1-n
Dw/dx + (i-n)P(x)w= (1-n)Q(x)


Ejemplo: dy/dx + 2xy= 6x/y2 …(1)
* cambio de variable: w=y1-n = y1-(-2)= y3 …(2)
* w=y3 … dw/dx = dw/dy dy/dx= 3y2 dy/dx = 1/3y2 dw/dx …(3)
* sustituyendo (3) en (1):
* 1/3y2 dw/dx +2xy=6x/y2
* Dw/dx + (3y2 ) 2xy = (3y2)(6x/y2)
* Dw+6xy3 =18x
* De (2): w=y3 … dw/dx +6xw=18x (“lineal” yde “variable separable”)
* Dw/dx=18x-6xw
* Dw/dx=6x(3-w)
* Dw/3-w= 6xdx
* ∫dw/3-w= ∫6xdx
* -ln|3-w| = 3x2 +C
* Ln|3-w| = -3x2- C
* 3-w= e-(3x^2+c)
Pero w=y3
* 3-y3= e-3x^2 e-c
* 3-y3= e-3x^2 (solución general)




Ecuaciones del tipo dy/dx= f(ax+by+c)

Dy/dx= f(ax+by+c), con a,b,c constantes, son evidentemente no-homogéneas. Es...