Ecuaciones Diferencilales

Docencia

La transformada de Laplace como aplicaci´n en la o resistencia de materiales
Agust´ Pacheco C´rdenas∗ ın a y Javier Alejandro G´mez S´nchez∗∗ o a
∗

Facultad de Ingenier´ UAQ; Depto. Ciencias ıa, B´sicas, ITQ a ∗∗ Facultad de Ingenier´ UAQ ıa,
agosto de 1998
resumen

Se aplican las t´cnicas m´s elementales de transformadas de Lae a place a la soluci´n de ecuacionesdiferenciales no homogeneas para o encontrar la ecuaci´n de la el´stica de una viga, as´ como las ecuao a ı ciones del momento flexionante y la fuerza cortante en cualesquiera puntos de ella. Planteamiento del problema

Queremos determinar la ecuaci´n de la curva que adoptar´ el eje neutro de o a una viga sometida a la acci´n de cargas externas a ella. o Ampliando el segmento ∆ mostrado en la figura 1, sea Oel centro de curvatura de la curva E C y ρ = O E el radio de curvatura (figura 2). Sabemos que el radio de curvatura viene dado por la expresi´n o dy 1+ dx ρ= d2 y dx2
2 3/2

(1)

· • • • • • · • · · · • • • · · · ·

APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

FIGURA 1.

FIGURA 2.

y es la ecuaci´n de la el´stica. o a En la figura 2 consideramos las hip´tesis que se establecen en loscuro sos de resistencia de materiales para este tipo de problemas: elasticidad, homogeneidad, secci´n constante, etc´tera. o e Tracemos D D paralelo a B B y E E paralelo a C C. Entonces los tri´na gulos C CO y EE C son tri´ngulos semejantes y, por lo tanto, sus lados a hom´logos son proporcionales. Podemos establecer la siguiente relaci´n: o o EE CC = ; CE CO como EE = δ, la deformaci´n que sufri´la fibra situada a una profundidad o o y del eje neutro, CE = y, tendremos: C C = ∆s, δ ∆s = . y ρ y δ = . ∆s ρ Si designamos (δ/∆s) = a la deformaci´n unitaria, entonces o = y . ρ (3)
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CO = ρ,

De aqu´ ı, (2)

´ ´ ´ A. PACHECO CARDENAS Y J. A. GOMEZ SANCHEZ

Por la ley de Hooke sabemos que σ = E , donde σ es el esfuerzo a que est´ sometida la fibra encuesti´n y E el m´dulo de elasticidad del material a o o de que est´ hecha la secci´n, el cual suponemos constante. Por lo tanto, a o σ y = ; E ρ σ= E y. ρ (4)

FIGURA 3.

FIGURA 4.

Cortemos ahora la viga en un punto x cualquiera (figura 3), y sean Mext el momento producido por las fuerzas exteriores que act´an sobre la viga y u Mint el momento provocado por los esfuerzos internos en laviga. Si Mint = σy dA (5)

y como se desea que la viga est´ en equilibrio, entonces: e
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Mint = Mext ;

i .e.,

M (x) =

σy dA.

(6)

APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Sustituyendo (4) en (6) se tiene: M (x) = Puesto que E y y dA = ρ E 2 y dA. ρ

y 2 dA = I es el momento de inercia de la secci´n, entonces o M (x) = EI ; ρ d2 y dx2
2 3/2(7)

sustituyendo ρ de la ec. (1), tenemos: EI = ρ EI

M (x) =

dy 1+ dx

.

(8)

En la pr´ctica, los valores de dy/dx son de magnitud muy peque˜a y, sin a n cometer un gran error, se puede considerar que (dy/dx)2 → 0. Por lo tanto, la ec. (8) da el siguiente resultado: d2 y = M (x), dx2 que llamaremos Primera ecuaci´n diferencial de la el´stica. o a EI (9)

FIGURA 5.

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´ ´ ´ A. PACHECO CARDENAS Y J. A. GOMEZ SANCHEZ

Hagamos las siguientes consideraciones: tomemos un segmento diferencial de la viga (figura 5) y adoptemos la convenci´n o

Por la

F y = 0, tenemos que −w(x)(∆x) − V + V + (∆y) = 0, de donde ∆y = w(x), ∆x (10)

y de

M0 = 0 se tiene −M − V (∆x) − w(x)(∆x)(∆x/2) + M + ∆M . . . ∆M ∆x = V + w(x) ; ∆x 2 (11)tomando ∆x → 0 en las ecs. (10) y (11) se obtienen: dM = V (x) dx dV = w(x), dx y, de aqu´ integrando obtenemos las muy conocidas relaciones: ı, M (x) = V (x) dx y V (x) = w(x) dx, (12)

y

(13)

las cuales establecen que: • La suma de ´reas del diagrama de fuerzas cortantes es igual al moa mento flexionante. • La suma de fuerzas externas es igual a la fuerza cortante. Sustituyendo (12) y...