Ecuaciones Homogéneas

ECUACIONES HOMOGÉNEAS Definición.-Sea f una función continua en un intervalo I de homogénea a toda ecuación de la forma . Se denomina ecuación diferencial

O también, se dice que la ecuacióndiferencial M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, es homogénea si las funciones M(x,y) y N(x,y) son homogéneas del mismo grado. Una función P(x,y) de dos variables se dice que es homogénea de grado n si verifica lasiguiente condición:

Estructura.M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 Algoritmo de Solución.1) Comprobar que la EDO es homogénea 2) Cambio de variable: y=ux entonces dy= udx + xdu 3) Sustituimos en la EDO(obtenemos una EDO Separable) 4) Realizamos las operaciones necesarias e Integramos 5) Regresamos a la variable original Reducibles a homogéneas.Consideremos la ecuación

Para resolverla, hay quedistinguir dos casos: a) Supongamos en primer lugar que las rectas =0y = 0 se cortan en el punto (x0, y0). Así, tendremos que = a(x − x0) + b(y − y0) y = a1(x−x0)+b1(y−y0). Hagamos ahora el cambio de variabley de función X = x − x0, Y = y − y0, con lo cual

es decir, hemos reducido la ecuación a una homogénea. b) En segundo lugar, supongamos que =0y con lo cual podrá ponerse (a1, b1) = K(a, b) paraalgún K función z = ax+by. Derivando, z′ = a+by′, o sea, obtenemos = 0 son rectas paralelas, . Efectuemos ahora el cambio de . Si sustituimos en la E. D. original

que es de variables separadas.EJEMPLOS: 1) Resolver la siguiente ecuación diferencial:

1.1) Comprobar que la EDO es homogénea f(tx,ty)=tn f(x,y) es una función homogénea de grado 2

Como f y g son homogéneas, 1.2) Cambio devariable:

es una función homogénea de grado 2 es una EDO homogénea de grado 2.

y=ux entonces dy= udx + xdu

1.3) Sustituimos en la EDO (obtenemos una EDO Separable)

1.4) Realizamos lasoperaciones necesarias e Integramos

1.5) Regresamos a la variable original por lo tanto 2) Resolver la ecuación diferencial: Se tiene Haciendo la sustitución por lo tanto la ED nos queda separando las...