Sistemas de ecuaciones homogéneas
Páginas: 4 (916 palabras)
Publicado: 5 de junio de 2013
Sistemas de ecuaciones lineales homogéneas
Se llama sistema lineal homogéneo a todo sistema lineal de ecuaciones en el que los
términos independientes o segundos miembros de cada ecuación soncero, es decir:
En los sistemas lineales homogéneos, el rango de la matriz ampliada es siempre igual
al rango de la matriz de coeficientes, puesto que estas dos matrices se diferencia tan
sólo en unacolumna de ceros. Por lo tanto, los sistemas homogéneos son siempre
compatibles, evidentemente, siempre tienen alguna solución, pues al menos xi = 0,
1 ≤ i ≤ n, es una solución que se denominasolución trivial.
En un sistema homogéneo caben dos posibilidades:
El rango de la matriz de coeficientes es igual al número de incógnitas, entonces el
sistema es compatible determinado y no tiene otrasolución más que la trivial.
El rango de la matriz de coeficientes es menor que el número de incógnitas, entonces
el sistema tiene infinitas soluciones. Para resolver un sistema homogéneo en estascondiciones es preciso expresar unas variables en función de las otras.
Teorema : El conjunto de soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales con n incógnitas es un subespacio vectorial deRn, cuya dimensión es igual a n
menos el número de ecuaciones linealmente independientes del sistema (el número
de ecuaciones linealmente independientes coincide con el rango de la matriz decoeficientes del sistema).
Por lo tanto,
(a) El conjunto de soluciones de un sistema lineal de ecuaciones homogéneas es un sub-
espacio vectorial de dimensión igual a la dimensión del espacio menosel número de
ecuaciones linealmente independientes.
(b) Todo subespacio vectorial está caracterizado por un sistema lineal homogéneo de
ecuaciones que se denominan ecuaciones implícitas delsubespacio, el número de
ecuaciones es igual a la dimisión del espacio menos la dimensión del subespacio.
Otro procedimiento para caracterizar un subespacio vectorial consiste en hallar las...
Se llama sistema lineal homogéneo a todo sistema lineal de ecuaciones en el que los
términos independientes o segundos miembros de cada ecuación soncero, es decir:
En los sistemas lineales homogéneos, el rango de la matriz ampliada es siempre igual
al rango de la matriz de coeficientes, puesto que estas dos matrices se diferencia tan
sólo en unacolumna de ceros. Por lo tanto, los sistemas homogéneos son siempre
compatibles, evidentemente, siempre tienen alguna solución, pues al menos xi = 0,
1 ≤ i ≤ n, es una solución que se denominasolución trivial.
En un sistema homogéneo caben dos posibilidades:
El rango de la matriz de coeficientes es igual al número de incógnitas, entonces el
sistema es compatible determinado y no tiene otrasolución más que la trivial.
El rango de la matriz de coeficientes es menor que el número de incógnitas, entonces
el sistema tiene infinitas soluciones. Para resolver un sistema homogéneo en estascondiciones es preciso expresar unas variables en función de las otras.
Teorema : El conjunto de soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales con n incógnitas es un subespacio vectorial deRn, cuya dimensión es igual a n
menos el número de ecuaciones linealmente independientes del sistema (el número
de ecuaciones linealmente independientes coincide con el rango de la matriz decoeficientes del sistema).
Por lo tanto,
(a) El conjunto de soluciones de un sistema lineal de ecuaciones homogéneas es un sub-
espacio vectorial de dimensión igual a la dimensión del espacio menosel número de
ecuaciones linealmente independientes.
(b) Todo subespacio vectorial está caracterizado por un sistema lineal homogéneo de
ecuaciones que se denominan ecuaciones implícitas delsubespacio, el número de
ecuaciones es igual a la dimisión del espacio menos la dimensión del subespacio.
Otro procedimiento para caracterizar un subespacio vectorial consiste en hallar las...
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